イェンセンの不等式

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イェンセンの不等式(いぇんせんのふとうしき、英語: Jensen's inequality)は、凸関数を使った不等式である。

f(x) を実数上の凸関数とする。

離散の場合

を、 を満たす正の実数の列とする。また、 を、実数の列とする。そのとき、次が成り立つ。

連続値の場合

を、 を満たす実数上の可積分関数とする。また、 を実数上の可積分関数とする。そのとき、次が成り立つ。

ルベーグ積分論の観点では、 離散の場合も連続の場合も同一に見倣せる。

証明は、fにおける接線を g とおいて、常に g(x) が f(x) よりも小さいことを使えばよい。

統計学において、式の下限を評価するさいに、一定の役割を担っている。例えば、カルバックライブラーダイバージェンスが常に 0 より大きいことを証明するときに用いられる。p(x) が確率密度関数の場合を考えると、イェンセンの不等式は次のように書ける。

なお、イェンセンの不等式から、相加相乗平均の不等式などを導くこともできる。

参考文献[編集]

  • David Chandler (1987). Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. ISBN 0-19-504277-8. 
  • Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
  • Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1. 

関連項目[編集]