変曲点

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変曲点(へんきょくてん)とは、平面上の曲線で曲がる方向が変わる点のこと。幾何学的にいえば、曲線上で曲率符号(プラス・マイナス)が変化する点(この点では0となる)をいう。これは幾何学的または解析学的に、次の各定義と同値である。

  • その点における接線が曲線自体と交差する点。
  • 曲線を関数 y=f(x)(2回連続微分可能とする)上の点 (x, y) として表した場合に、2次導関数 f' ' (x) の符号が変化する点。
  • 1次導関数 f' (x)極値をとる点。

変曲点では2次導関数 f' ' (x) は0となる。ただし f' ' (x) = 0 であっても符号が変わらない、つまり f ' (x) が極値でなく停留点(下述)の場合には、変曲点ではない。この点の両側で f' (x) の符号は同じでなければならない。また片側では上に凸、他の側では下に凸(またはその逆)である。

変曲点で f' (x) = 0 の時は、特に停留点または鞍点という。例えば y = x3 における点(0, 0)。ただしグラフを回転すれば停留点ではない普通の変曲点となる。