ほとんど整数

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あるほとんど整数(ほとんどせいすう、: almost integer)であるとは、整数ではないが、整数に非常に近いことを意味する。どれほど近ければ十分であるのか明確な決まりはないが、一見して整数に近いとは分からないのに、近似値を計算すると驚くほど整数に近い数で、小数点以下の部分が「.000…」または「.999…」のように、0か9が数個連続する場合、このように表現される。例えば、「インドの魔術師」の異名をもつシュリニヴァーサ・ラマヌジャン

など、整数に近い数の例をいくつか与えた[1]。また、黄金比 φ = 1.618…累乗、例えば

は整数に近い。整数に近い数を与えることは、単なる趣味の範疇であることが多いが、意義深い数学的な理論が背景にあることも少なくはない。

整数に近い理由[編集]

整数に近い値となることについては、単なる偶然、理由を説明すれば自明なもの、単純な説明が与えられるもの、あるいは(現在のところ)数学的な説明が与えられていないものなど、様々である。例えば、冒頭に挙げた黄金比

の累乗が整数に近い理由は、次のように説明される。

φ二次方程式 x2x − 1 = 0 の根である。この方程式のもうひとつの根を

とおくと、根と係数の関係より φ + φ = 1, φ φ = −1 であるから、これらの整数係数多項式で表せる対称式 φn + φn は整数である。しかるに、φ の絶対値は 1 より小さいため、n を大きくすると φn は 0 に近付く。したがって、n が大きくなるほど φn は整数に近くなる。一般に、同様の理由で(整数ではない)ピゾ数英語版の累乗は限りなく整数に近付く。

他の例として、

が整数に近い[2]理由は、半角の公式

および、22/7π の近似分数であるために cos 22cos 7π = −1 に近いことによる、と説明できる。なお、リンデマンの定理より、この数は超越数である。

一方、なぜ整数に近いのか、合理的な理由が与えられていないものもある。ゲルフォントの定数円周率との差

がほとんど整数であることは、1988年頃に、ニール・スローンジョン・ホートン・コンウェイサイモン・プラウフによって相次いで指摘されたが、その理由は知られておらず、単なる偶然であろうと考えられている[1]。なお、π + 20eπ に近いため、

という変形も与えられる。

図形における例[編集]

d の値は非常に整数に近い

エドワード・ペグ・ジュニア英語版は、三角形にほとんど整数である数が隠れていることを指摘した[1]AB = 27, BC = 30, CA = 22 である三角形の内部に点 O を、OB = 23, OC = 16 となるようにとると、OA はいくらになるだろうか。実際に作図してみると、ほぼ 7 と測定される。しかし、正確には

であって、およそ 7.00000008573675… である。

物理学における例[編集]

微細構造定数 αディラック定数 ħ真空中の光速度 c電気素量 e真空の誘電率 ε0 の組み合わせによって

で与えられる単位の次元を持たない無次元量であり[3]、その逆数 α−1

[4]、非常に 137 に近い値を取る。イギリスの天体物理学者アーサー・エディントンをはじめとする何人かの物理学者は何故、この値が 137 に近いのか、説明を与えようと試みてきているが、それらについては数遊びに過ぎないという批判もある[5]

ラマヌジャンの定数[編集]

1975年エイプリルフールに、マーティン・ガードナーサイエンティフィック・アメリカン誌のコラム「数学ゲーム」(Mathematical Games) において、次のようなジョークを発表した。一見してとても整数とは思われない数

が整数 262537412640768744 に等しいということは、かのラマヌジャンも予想していたことだ、と。実際には、ゲルフォント=シュナイダーの定理から超越数であることが分かり、近似値は 262537412640768743.99999999999925007… である。この数が整数に近い理由は、保型関数の理論を用いて説明される。背景には、虚二次体 類数が 1 であるという事実がある。類数が 1 であるような虚二次体 は、d

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163オンライン整数列大辞典の数列 A3173

のいずれかのものに限ることが知られており、これらの数から整数に近い一連の数

が得られる。このうち、最後のものをラマヌジャンの定数という。これはサイモン・プラウフによって名付けられたものであり、前述のジョークに由来している[6]。ラマヌジャン自身は類似の数に言及しているものの、直接に関与したという事実は知られていない。

その他の例[編集]

その他にも、数多くの整数に近い数の例が与えられている。以下、単純なものを列挙する。

  • e6π4π5 = 0.000017673…[1](ほとんど0)
  • π9/e8 = 9.9998387978…[1](ほとんど10)
  • 163 (πe) = 68.9996644963…[1](ほとんど69)
  • 5φe/7π = 1.0000097…[1](ほとんど1)

脚注[編集]

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出典

関連項目[編集]

  • 0.999... - (実数において)ほとんど1ではなく、完全に1に等しい。

外部リンク[編集]