ニュートンの運動方程式

ニュートンの運動方程式（ニュートンのうんどうほうていしき、Newtonian Equation of motion）は、非相対論的古典力学における一質点の運動を記述する運動方程式のひとつであり、以下のような形の2階微分方程式である。

$m{\boldsymbol {a}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\boldsymbol {F}}$

ここで、 $m$ は質点の質量、 ${\boldsymbol {r}}$ は質点の位置ベクトル、 ${\boldsymbol {a}}$ は質点の加速度、 ${\boldsymbol {F}}$ は質点にかかる力、 $t$ は時間である。 ${\boldsymbol {F}}$ , ${\boldsymbol {a}}$ はベクトル量、 $m$ はスカラー量。

解釈

この方程式では力が質量と加速度の積に等しいことを示している。しかし後にこの方程式は近似的にしか成り立たない事が分かった。実際、相対性理論より物体の速度は光速を越える事はできないが、この方程式は一定の力をかけ続ければいつかは光速を越えてしまう事を意味する。したがってニュートンの運動方程式を適用できる範囲は物体の速度が光速に比べて十分に小さいときのみである。とはいっても、我々が日常で会う物体のほとんどは秒速100kmにも満たない速度で運動している（光は秒速約30万km）ので、この式に数値を当てはめて計算しても全く問題がないほど小さな誤差しか生じない。いっぽう物体の速度が光速に近い場合には相対性理論の運動方程式を適用しなければならない。

古典的には、この方程式から、質点に加えられた力積が質点の運動量変化に等しいこと、及び質点に加えられた仕事が運動エネルギーの変化に等しいことも導かれる。

ニュートンの運動方程式から質量 $m\neq 0$ で力 ${\boldsymbol {F}}=0$ ならば加速度 ${\boldsymbol {a}}=0$ が導けるが、これは運動の第1法則の意味を表しているようにも見えるため、運動の第1法則は運動の第2法則に含まれるとの考え方も根強い。しかし、そもそも運動の第1法則（慣性の法則）が成立する系（慣性系）で無ければ運動の第2法則も成立しない事に注意しなくてはならない。（非慣性系をニュートン力学で取り扱う為には、その影響を「慣性力」として経験的に導入しなくてはならない）そのために運動の第1法則は、ニュートン力学を適用するための前提となる慣性系の存在を宣言していると現在では解釈されている。

解釈

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