ラピディティ

相対性理論において、ラピディティ (英: Rapidity) とは運動の大きさを表現する無次元量である。相対論的な速度とは異なり、ラピディティには並進速度については（言い換えれば、一次元空間においては）単純な加法性が備わる。低速域ではラピディティと速さは近似的に比例関係にあるが、高速域ではラピディティの方が大きくなっていく。光速に対応するラピディティは無限大である。

逆双曲正接関数 $artanh$ を用いて、ラピディティ $φ$ は速さ $v$ から $φ = arctanh .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}v/c$ のように算出される。したがって、低速域では $φ$ は近似的に $v / c$ と等しい。

光速 $c$ は有限であり、速さ $v$ は必ず不等式 $- c < v < c$ を満たすため、 $v / c$ は不等式 $-1 < v / c < 1$ を満たす。逆双曲正接関数の定義域は区間 $(-1, 1)$ であり、値域は実数全体であるため、速さの区間 $- c < v < c$ はラピディティの区間 $-\infty < φ < \infty$ に対応する。

数学的には、ラピディティは相対的に運動する二つの基準系の空間軸および時間軸の間の双曲角（英語版）により定義される。

歴史

1908年、ヘルマン・ミンコフスキーはローレンツ変換が時空座標系の単純な双曲回転（英語版）、つまり虚数角度の回転とみなせることを示した^[1]。従って、この角度は慣性系の（一次元的な）相対速度の単純で加法的な尺度とすることができる^[2]。ラピディティは1910年にホイッテーカー^[3]、ワリチャク（英語版）^{[訳語疑問点]}により用いられた。「ラピディティ」という用語は1911年、アルフレッド・ロッブ（英語版）により初めて用いられ^[4]、その後1912年にはワリチャク^{[訳語疑問点]}、1914年にはシルバーシュタイン（英語版）、1936年にはモーリー、2001年にはリンドラー（英語版）など多くの研究者により用いられるようになった。ラピディティの理論的発展は主にワリチャク^{[訳語疑問点]}によるものであり、1910年から1924年までの彼の著書にそれを見ることができる^[5]。

一次元空間におけるラピディティ

ラピディティ $φ$ はローレンツブーストの行列積による表式

{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}={\boldsymbol {\Lambda }}(\varphi ){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}

に現われる。行列 $Λ (φ)$ は ${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$ のような対称行列で、かつ $p$ と $q$ が $p 2 - q 2 = 1$ を満たすような行列であり、したがって点 $(p, q)$ は単位双曲線の上に乗り、双曲線関数で表現することができる。このような行列全体は、単位反対角行列によって張られるリー代数を持つ不定値直交群 O(1,1)（英語版）を成す。この作用は時空図上に表現することができる。行列指数関数の記法を用いると、 $Λ (φ) = e Z φ$ のように表わすことができる。ここで、 $Z$ は単位反対角行列

{\boldsymbol {Z}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

である。また、以下の式は簡単に示すことができる。

{\boldsymbol {\Lambda }}(\varphi _{1}+\varphi _{2})={\boldsymbol {\Lambda }}(\varphi _{1}){\boldsymbol {\Lambda }}(\varphi _{2})

この式により、ラピディティの有用な特性である、加法性が確立される。すなわち、 $A$ , $B$ , $C$ を基準系とし、基準系 $P$ からみた基準系 $Q$ のラピディティを $φ PQ$ と表わすものとすると、次の式が成り立つ。

\varphi _{\text{AC}}=\varphi _{\text{AB}}+\varphi _{\text{BC}}

この式の単純さは、相対論的な速度の合成則（英語版）とは対照的である。

上で示したようなローレンツ変換は、ローレンツ因子 $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh \varphi$ と一対一対応するため、 $\varphi$ は $γ$ と $β$ を用いたローレンツ変換の表式に暗黙のうちに用いられていると考えることもできる。速度の合成則 $u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})$ にも、 $\beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {\varphi _{i}}$ および、

{\begin{aligned}\tanh \varphi &={\frac {\tanh \varphi _{1}+\tanh \varphi _{2}}{1+\tanh \varphi _{1}\tanh \varphi _{2}}}\\&=\tanh(\varphi _{1}+\varphi _{2})\end{aligned}}

を用いることにより関連づけることができる。

固有加速度（英語版）（加速を受けている物体が「感じる」加速度）は、固有時（加速を受けている物体から測った時間）あたりのラピディティの変化率で表わすことができる。従って、ある慣性系において非相対論的な加速度を静止状態から一定の速度に達するまでにかかる時間で割って求めるのと同様に、ある基準系で測ったある物体のラピディティをその物体の速度の代わりに用いることができる。

ドップラーシフト（英語版）因子とラピディティ $φ$ との間の関係式は、 $k = e φ$ と表わされる。

一次元以上の空間次元に対して

数学的な視点からは、相対論的に可能な速度全体は多様体を成し、その計量テンソルは固有加速度に対応する（上節参照）。この空間は平坦ではなく（つまり、双曲空間（英語版）であり）、ラピディティはある基準系におけるある速度からゼロ速度までの距離として与えられる。上記の一次元空間の場合と同じようにラピディティを加減算することは、対応する相対速度が平行であれば可能であるが、一般の場合のラピディティの合成則は負の曲率のためにより複雑になる。例えば、それぞれ $φ 1$ および $φ 2$ をラピディティとする二つの直交する運動を「加算」した結果は、ピタゴラスの定理から予想される値 ${\sqrt {\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}}}$ よりも大きくなる。二次元におけるラピディティはポアンカレの円盤により可視化すると便利である^[6]。円盤の端にある点は無限大のラピディティに対応する。測地線は定常加速に対応する。トーマス歳差（英語版）は三角形の角度、または面積の減少を負にした値に等しい。

実験素粒子物理学における応用

（静止）質量 $m$ の粒子のエネルギー $E$ とスカラー運動量 $| p |$ は次のように与えられる。

E=mc^{2}\cosh \varphi

|{\boldsymbol {p}}|=mc\,\sinh \varphi

これを解くと、ラピディティをエネルギーと運動量の測定値から次のように計算することができる。

\varphi =\operatorname {artanh} {\frac {|{\boldsymbol {p}}|c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|{\boldsymbol {p}}|c}{E-|{\boldsymbol {p}}|c}}

しかし、実験素粒子物理学者は粒子線の軸に沿ったラピディティを以下のように定義しなおして用いることが多い。

y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}

ここで、 $p z$ は運動量の粒子線軸に沿った成分である^[7]。これは実験室系から粒子が粒子線に対して垂直にしか運動しない基準系へのローレンツブーストに対応するラピディティに等しい。これに関連する概念として、擬ラピディティがある。

脚注・出典

^ Minkowski, Hermann (1908). “Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern”. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53–111.
^ Arnold Sommerfeld (1909). “Über die Verteilung der Intensität bei der Emission von Röntgenstrahlen”. Physikalische Zeitschrift.
^ E. T. Whittaker (1910). A History of the Theories of the Aether and Electricity. Dublin University Press 1953年の改版では、理論的整合性をもってラピディティが用いられている。
^ Alfred Robb (1911). Optical geometry of motion : a new view of the theory of relativity. p. 9
^ Wikisourceに彼の論文の翻訳があるので、参照のこと。
^ Rhodes, John A.; Semon, Mark D. (2003). “Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession”. American Journal of Physics 72 (7): 943–961.
^ Amsler, C. et al. (2008). “The Review of Particle Physics” (PDF). Physics Letters B 667: 1-6. doi:10.1016/j.physletb.2008.07.018.

Whittaker, E.T. (1910). "1. Edition: A History of the theories of aether and electricity" (Document). Dublin: Longman, Green and Co. {{cite document}}: |title=で外部リンクを指定しないでください (説明) page 441
Robb, Alfred (1911). Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity. Cambridge: Heffner & Sons
Borel E (1913). “La théorie de la relativité et la cinématique” (French). Comptes Rendus Acad Sci Paris 156: 215-218 2015年9月16日閲覧。.
Borel E (1913). “La cinématique dans la théorie de la relativité” (French). Comptes Rendus Acad Sci Paris 157: 703-705 2015年9月16日閲覧。.
Silberstein, Ludwik (1914). The Theory of Relativity. London: Macmillan & Co.
Vladimir Karapetoff (1936). “Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities”. American Mathematical Monthly 43: 70-82. doi:10.2307/2301196.
Frank Morley (1936). T.S. Eliot. ed. “When and Where”. The Criterion 15: 200-2009.
Wolfgang Rindler (2001). Relativity: Special, General, and Cosmological. Oxford University Press. p. 53
Shaw, Ronald (1982). Linear Algebra and Group Representations. 1. Academic Press. p. 229. ISBN 0-12-639201-3
Walter, Scott (1999). “The non-Euclidean style of Minkowskian relativity”. In J. Gray (PDF). The Symbolic Universe: Geometry and Physics. Oxford University Press. pp. 91–127 (see page 17 of e-link)
Varićak V（英語版） (1910), (1912), (1924) en:Vladimir Varićak#Publicationsを参照。

[1] Minkowski, Hermann (1908). “Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern”. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53–111.

[2] Arnold Sommerfeld (1909). “Über die Verteilung der Intensität bei der Emission von Röntgenstrahlen”. Physikalische Zeitschrift.

[3] E. T. Whittaker (1910). A History of the Theories of the Aether and Electricity. Dublin University Press 1953年の改版では、理論的整合性をもってラピディティが用いられている。

[4] Alfred Robb (1911). Optical geometry of motion : a new view of the theory of relativity. p. 9

[5] Wikisourceに彼の論文の翻訳があるので、参照のこと。

[6] Rhodes, John A.; Semon, Mark D. (2003). “Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession”. American Journal of Physics 72 (7): 943–961.

[7] Amsler, C. et al. (2008). “The Review of Particle Physics” (PDF). Physics Letters B 667: 1-6. doi:10.1016/j.physletb.2008.07.018.

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[4]

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歴史

一次元空間におけるラピディティ

一次元以上の空間次元に対して

実験素粒子物理学における応用

関連項目

脚注・出典