イジング模型

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統計力学
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熱力学 · 気体分子運動論

統計力学において、イジング模型: Ising model、イジングモデルとも言う)とは二つの配位状態をとる格子点から構成され、最隣接する格子点のみの相互作用を考慮する格子模型強磁性体の模型(モデル)であるとともに、二元合金格子気体の模型としても用いられる。スピン系のモデルとしては非常に単純化されたモデルであるが、相転移現象を記述可能なモデルであり、多くの物理学者によって、研究されてきた[1]。また、この単純化された性質により、厳密な解析が可能であり、特に外部磁場の無い二次元イジング模型は、厳密解が得られる可解格子模型の一種である。1920年にドイツの物理学者ヴィルヘルム・レンツ英語版によって、提案された[2]。イジング模型の名は、レンツの博士課程の指導学生であり、その研究を行ったエルンスト・イジング英語版の名前に因む[3]。1944年に、ラルス・オンサーガーが二次元イジング模型の厳密解を求め、相転移が起きることを示したが、この結果は、統計力学における金字塔の一つとされる[4]


概要[編集]

ハイゼンベルク模型をより簡単化したもので、そのハミルトニアンは、

 H = - J \sum_{\left\langle i,j \right\rangle} \sigma_i \cdot \sigma_j

である。σiは(結晶)格子点i上のスピン。自由度は上向き(+1)と下向き(-1)のみである。Jは最隣接スピン間の相互作用によるエネルギー(交換相互作用エネルギー)である。 \left\langle i,j \right\rangle は最隣接格子点のみ和を取ることを意味する。ここで、隣り合う格子点上のスピン同士が、お互い上向き(+1 × +1)または下向き(-1 × -1)の場合(スピンが平行)、 \, - {J/2} 、互いに逆向き(上向きと下向き:1 × -1または-1 × 1←スピン反平行)の場合、 \, {J/2} となる。

イジングの提案の段階で、一次元(格子系)での厳密な解は求められていて、有限温度での相転移を起こさないことが示されていた。その後、1944年にラルス・オンサーガーが二次元イジング模型の厳密解を求めた。これは相転移を起こし、この結果は、相転移現象の記述、理解のために大変重要な役割を果たしている。二次元の磁場の無い場合のこの模型の厳密解はオンサーガーの解法以外にもいくつかの方法が示されている.また,外部磁場が印加されたモデルの厳密解は得られていない.

三次元に関しての厳密解は、2006年現在求められていない。

厳密解が求められるのは、特殊な場合で多くの場合、平均場近似繰り込み群、級数展開(低温展開、高温展開)の手法などと、これらを用いた数値計算手段を使って近似的に解かれる。

この模型(モデル)は、合金の規則‐不規則(秩序‐無秩序)転移や、異方性の大きな磁性の問題などに適用されている。

脚注[編集]

  1. ^ Stephen G. Brush, Rev. Mod. Phys., 39, p.883 (1967)
  2. ^ W. Lenz, "Beiträge zum Verständnis der magnetischen Eigenschaften in festen Körpern", Phys. ZS., 21, p. 613 (1920)
  3. ^ E. Ising, "Beitrag zur theorie des ferromagnetismus," Z. Physik, 31, p. 253 (1925)
  4. ^ Somendra M. Bhattacharjee et al., Curr.Sci., 69 p. 816 (1995)

参考文献[編集]

  • Lars Onsager: "Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition", Phys. Rev. Vol.65, pp.117-149 (1944).
  • Stephen G. Brush, "History of Lentz-Ising Model," Rev. Mod. Phys., 39, p.883 (1967) doi:10.1103/RevModPhys.39.883
  • Somendra M. Bhattacharjee, Avinash Khare, "Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Model by Onsager," Curr.Sci., 69, p. 816 (1995) arXiv:cond-mat/9511003
  • Martin Niss, "History of the Lenz-Ising Model 1920–1950: From Ferromagnetic to Cooperative Phenomena," Arch. Hist. Exact Sci., 59, p. 267 doi:10.1007/s00407-004-0088-3
  • 小口武彦 『磁性体の統計理論 』 裳華房 (1970) ISBN 978-4785323127
  • I. A. Stepanov. Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models. – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118 - 122. The paper is on the Journal’s website with a free access.

関連記事[編集]