フェルミ分布関数

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統計力学
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熱力学 · 気体分子運動論
温度ごとのフェルミ分布関数

フェルミ分布関数(フェルミぶんぷかんすう、: Fermi distribution function)とは、相互作用のないフェルミ粒子の系において、一つのエネルギー準位にある粒子の数(占有数)の分布を与える理論式である[1]。フェルミ・ディラック分布とも呼ばれる。

定義[編集]

量子数νで指定されるエネルギー準位ενにおけるフェルミ粒子の占有数 nνの統計的期待値<nν>を考える。占有数はマクロな観測量では無いが、期待値を求めておくと量子理想気体などの解析に便利である[2]<nν>グランドカノニカル分布で求めると、以下のようになる[3]

ここでβ逆温度μ は系の化学ポテンシャルである。これをフェルミ分布関数と呼ぶ。

エネルギーを連続的な変数εとすれば、

となる。

フェルミ分布関数は 0 から 1 の間の値をとる。これはパウリの排他原理によりフェルミ粒子が一つの準位には一つまでしか入らないことを反映している。

低温でのふるまい[編集]

絶対零度T→0, β→∞)の極限では、フェルミ分布関数はヘヴィサイドの階段関数を用いて

となる。このときの化学ポテンシャルはフェルミエネルギーに等しい。

脚注[編集]

  1. ^ 東京大学 知の構造化センター「物性物理学入門 (進化する教科書 Wiki)」[1]
  2. ^ 田崎晴明 『統計力学II』 培風館〈新物理学シリーズ〉、2008年ISBN 4563024384
  3. ^ 伏見康治確率論及統計論」第IX章 量子統計力学 §75. Fermi統計法,Bose統計法 p. 430.

参考文献[編集]

関連項目[編集]