グランドポテンシャル

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統計力学
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熱力学 · 気体分子運動論

グランドポテンシャル: grand potential)とは、熱力学における示量性状態量の1つである。 統計力学においてはグランドカノニカルアンサンブルと関係付けられる。 グランドポテンシャルはエネルギーの次元を持つ。 記号 J\Omega で表されることが多い。また、単に熱力学ポテンシャル(ねつりきがくポテンシャル、: thermodynamic potential)と呼ばれることもある。

定義[編集]

グランドポテンシャル J は、ヘルムホルツエネルギー F化学ポテンシャル \mu物質量 N を用いて

J = F - \mu N

で定義される。

グランドポテンシャルを温度 T体積 V、化学ポテンシャル \mu の関数 J(T,V,\mu) と見ると、完全な熱力学関数となる。 また、ヘルムホルツエネルギーを温度 T、体積 V、物質量 N の関数 F(T,V,N) としてみたとき、グランドポテンシャルは N に関するルジャンドル変換

J(T,V,\mu) = F(T,V,N(T,V,\mu)) - \mu\, N(T,V,\mu)

と見ることができる。

微分[編集]

グランドポテンシャル J(T,V,\mu)全微分

dJ(T,V,\mu) = -S(T,V,\mu) dT -p(T,V,\mu) dV -N(T,V,\mu) d\mu

となる。ここで Sエントロピーp圧力Nは物質量である。 従って、偏微分

S(T,V,\mu) = -\left(
 \frac{\partial J(T,V,\mu)}{\partial T}
 \right)_{V,\mu}

p(T,V,\mu) = -\left(
 \frac{\partial J(T,V,\mu)}{\partial V}
 \right)_{T,\mu}

N(T,V,\mu) = -\left(
 \frac{\partial J(T,V,\mu)}{\partial \mu}
 \right)_{T,V}

となる。

系のスケール変換を考えると

J = -pV

の関係が得られる。

統計力学との関係[編集]

統計力学においてはグランドカノニカルアンサンブルと関係付けられる。 大分配関数 \Xi(\beta,\mu) を用いて

J(\beta,\mu) = -\frac{1}{\beta}\ln\Xi(\beta,\mu)

と表される。ここで \beta = 1/kT逆温度kボルツマン定数である。


参考文献[編集]

関連項目[編集]