誤差関数 (ごさかんすう、英 : error function )は、数学 におけるシグモイド 形状の特殊関数 (非初等関数 )の一種で、確率論 、統計学 、物質科学 、偏微分方程式 などで使われる。ガウスの誤差関数 とも。定義 は以下の通り。
erf
(
x
)
=
2
π
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}
相補誤差関数 (complementary error function) は erfc と表記 され、誤差関数 を使って以下のように定義 される。
erfc
(
x
)
=
1
−
erf
(
x
)
=
2
π
∫
x
∞
e
−
t
2
d
t
=
e
−
x
2
erfcx
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} (x)\end{aligned}}}
スケーリング相補誤差関数 (scaled complementary error function)[1] erfcx も定義 される
(アンダーフロー [1] [2] を避けるために、 erfc の代わりに用いる)。
複素誤差関数 (complex error function) は
w
(
x
)
{\displaystyle w\left(x\right)}
と表記 され、やはり誤差関数 を使って次のように定義 される(Faddeeva関数 とも呼ぶ)。
w
(
x
)
=
e
−
x
2
erfc
(
−
i
x
)
{\displaystyle w\left(x\right)=e^{-x^{2}}{\textrm {erfc}}(-ix)\,\!}
誤差関数のグラフ
特性
図2. 被積分関数 exp(−z 2 ) を複素z -平面でプロットした図
図3. erf(z ) を複素z -平面でプロットした図
誤差関数 は奇関数 である。
任意の複素数
z
{\displaystyle z}
について、
erf
(
−
z
)
=
−
erf
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)}
また、次が成り立つ。
erf
(
z
∗
)
=
erf
(
z
)
∗
{\displaystyle \operatorname {erf} (z^{*})=\operatorname {erf} (z)^{*}}
ここで
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
は
z
{\displaystyle z}
の複素共役 である。
被積分関数
f
=
exp
(
−
z
2
)
{\displaystyle f=\exp \left(-z^{2}\right)}
と
f
=
erf
(
−
z
)
{\displaystyle f=\operatorname {erf} \left(-z\right)}
を複素
z
-
{\displaystyle z\operatorname {-} }
平面にプロットしたものを図2と図3に示す。
虚部
f
=
Im
(
f
)
=
0
{\displaystyle f=\operatorname {Im} \left(f\right)=0}
となる点を結んだ線を太い緑色の線で表している。
f
=
Im
(
f
)
{\displaystyle f=\operatorname {Im} \left(f\right)}
が負の整数 となる点 を結んだ線 を太い赤色の線で表し 、正の整数 となる点を結んだ線を太い青色の線で表している。
f
=
Im
(
f
)
{\displaystyle f=\operatorname {Im} \left(f\right)}
が整数 と整数の中間の一定値 になる点を結んだ線を細い緑色の線で表し、実部
f
=
Re
(
f
)
=
0
{\displaystyle f=\operatorname {Re} \left(f\right)=0}
が一定値になる点を結んだ線は、正 の場合は青い細い線、負 の場合は赤い細い線で表している。
実軸では、
z
→
∞
{\displaystyle z\to \infty }
で
f
=
erf
(
z
)
{\displaystyle f=\operatorname {erf} \left(z\right)}
は単位元 (1)に漸近し、
z
→
−
∞
{\displaystyle z\to -\infty }
で単位元(-1)に漸近する。虚軸では、
±
i
∞
{\displaystyle \pm {\rm {i}}\infty }
となる。
テイラー級数
誤差関数 は整関数 である。(無限大以外で)特異点 を持たず、テイラー展開 は常に収束 する。
定義 にある積分 は初等関数 を使った閉形式では評価できないが、被積分 関数
exp
−
z
2
{\displaystyle \exp ^{-z^{2}}}
を対応するテイラー級数 に展開して、項 単位 で積分すると、誤差関数 のテイラー級数が以下のように得られる。
erf
(
z
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
n
!
(
2
n
+
1
)
=
2
π
(
z
−
z
3
3
+
z
5
10
−
z
7
42
+
z
9
216
−
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}
これは全ての複素数
z
{\displaystyle z}
について成り立つ。項 の分母 はOEIS にある A007680 の数列である。
これを反復 的に計算 するには、以下のように定式化するのが扱い易い。
erf
(
z
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
(
z
∏
k
=
1
n
−
(
2
k
−
1
)
z
2
k
(
2
k
+
1
)
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
z
2
n
+
1
∏
k
=
1
n
−
z
2
k
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}
−
(
2
k
−
1
)
z
2
k
(
2
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}}
は
k
{\displaystyle k}
番目の項から
k
+
1
{\displaystyle k+1}
番目の項 を得る係数 を表し ている。
f
=
erf
(
z
)
{\displaystyle f=\operatorname {erf} \left(z\right)}
や
f
=
erfc
(
z
)
{\displaystyle f=\operatorname {erfc} \left(z\right)}
と
f
=
exp
(
−
z
2
)
{\displaystyle f=\exp \left(-z^{2}\right)}
を比較 するには、次の級数 が利用できる。
e
z
2
erf
(
z
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
2
n
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
!
=
∑
n
=
0
∞
z
2
n
+
1
Γ
(
n
+
3
2
)
{\displaystyle e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{\Gamma (n+{\frac {3}{2}})}}}
∞
{\displaystyle \infty }
において誤差関数 は正確に1になる(ガウス積分 を参照)。
誤差関数 の導関数 は定義 から即座に求められる。
d
d
z
e
r
f
(
z
)
=
2
π
e
−
z
2
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}}
誤差関数 の不定積分 は次のようになる。
z
erf
(
z
)
+
e
−
z
2
π
{\displaystyle z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}
逆関数
逆誤差関数 は次のような級数 となる。
erf
−
1
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
c
k
2
k
+
1
(
π
2
z
)
2
k
+
1
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\left(z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1}\,\!}
ここで、
c
0
=
1
{\displaystyle c_{0}=1}
であり、
c
k
=
∑
m
=
0
k
−
1
c
m
c
k
−
1
−
m
(
m
+
1
)
(
2
m
+
1
)
=
{
1
,
1
,
7
6
,
127
90
,
…
}
{\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}}
となる。従って、次のような級数の展開が得られる(分子 と分母 に共通して出現する係数 は省いてある)。
erf
−
1
(
z
)
=
1
2
π
(
z
+
π
12
z
3
+
7
π
2
480
z
5
+
127
π
3
40320
z
7
+
4369
π
4
5806080
z
9
+
34807
π
5
182476800
z
11
+
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right)\,\!}
[3]
(約分後の分子/分母の係数はOEIS の A092676/A132467 と同じで、約分していない分子は A002067 となる。)
相補誤差関数のグラフ
なお、誤差関数 の正 と負 の無限大 での値 はそれぞれ正と負の
1
{\displaystyle 1}
となる。
応用
一連の何らかの測定 値 が正規分布 になっていて、標準偏差 が
σ
{\displaystyle \sigma }
、期待値 が
0
{\displaystyle 0}
の場合、1つの測定値の誤差が
−
a
{\displaystyle -a}
と
a
{\displaystyle a}
の間になる確率 は
erf
(
a
σ
2
)
{\displaystyle \operatorname {erf} \,\left(\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\,\right)}
である。これは、例えば、デジタル 通信 システム での符号誤り率 の特定などに使える。
誤差関数 と相補誤差関数 は例えば、境界条件 をヘヴィサイドの階段関数 で与えたときの熱方程式 の解 に出現する。
漸近展開
相補誤差関数 (および誤差関数 )の大きな
x
{\displaystyle x}
についての漸近展開 は次のようになる。
e
r
f
c
(
x
)
=
e
−
x
2
x
π
[
1
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
n
−
1
)
(
2
x
2
)
n
]
=
e
−
x
2
x
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
n
!
(
2
x
)
2
n
{\displaystyle \mathrm {erfc} \left(x\right)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}\,}
この級数 は有限な
x
{\displaystyle x}
については発散する。しかし、最初の方の幾つかの項 だけで
erfc
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)}
のよい近似 が得られ、テイラー展開 よりも収束 が早い。
初等関数による近似
次のような近似 がある。
erf
2
(
x
)
≈
1
−
exp
(
−
x
2
4
/
π
+
a
x
2
1
+
a
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{2}\left(x\right)\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}
ここで、
a
=
−
8
(
π
−
3
)
3
π
(
π
−
4
)
{\displaystyle a=-{\frac {8\left(\pi -3\right)}{3\pi \left(\pi -4\right)}}}
このような近似(曲線あてはめ )は、実軸付近の誤差関数の値について、少なくとも十進で1桁の精度はある。
関連する関数
誤差関数 は正規分布の累積分布関数(CDF)
ϕ
{\displaystyle \phi }
と基本的には同じであり、単にスケールと解釈が異なるだけである。実際、次の関係 が成り立つ。
Φ
(
x
)
=
1
2
[
1
+
erf
(
x
2
)
]
=
1
2
erfc
(
−
x
2
)
{\displaystyle \Phi \left(x\right)={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,{\mbox{erfc}}\left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}
また、
erf
{\displaystyle \operatorname {erf} }
および
erfc
{\displaystyle \operatorname {erfc} }
について変形すると次のようになる。
e
r
f
(
x
)
=
2
Φ
(
x
2
)
−
1
e
r
f
c
(
x
)
=
2
[
1
−
Φ
(
x
2
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {erf} \left(x\right)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\mathrm {erfc} \left(x\right)&=2\left[1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right]\end{aligned}}}
従って、誤差関数 は、正規分布 におけるテール確率 であるQ関数 とも密接に関連する。Q関数は誤差関数 を使って次のように表現 できる。
Q
(
x
)
=
1
2
−
1
2
erf
(
x
2
)
{\displaystyle Q\left(x\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}}
Φ
{\displaystyle \Phi \,}
の逆関数 は標準分位関数 またはプロビット関数 として知られており、逆誤差関数 を使って次のように表現できる。
probit
(
p
)
=
Φ
−
1
(
p
)
=
2
erf
−
1
(
2
p
−
1
)
=
−
2
erfc
−
1
(
2
p
)
{\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\,\operatorname {erfc} ^{-1}(2p)}
確率論 や統計学 では標準正規分布の累積分布関数の方がよく使われ、誤差関数 は他の数学の分野で使われる傾向がある。
誤差関数 はミッタク=レフラー関数 の特殊ケースであり、合流型超幾何微分方程式 としても以下のように表現できる。
e
r
f
(
x
)
=
2
x
π
1
F
1
(
1
2
,
3
2
,
−
x
2
)
{\displaystyle \mathrm {erf} \left(x\right)={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right)}
フレネル積分 を使った単純な表現法もある。正規化ガンマ関数
P
{\displaystyle P}
と不完全ガンマ関数 を使うと、次のように表せる。
erf
(
x
)
=
sgn
(
x
)
P
(
1
2
,
x
2
)
=
sgn
(
x
)
π
γ
(
1
2
,
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)=\operatorname {sgn} \left(x\right)P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sgn} \left(x\right) \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}
sgn
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} \left(x\right)\ }
は符号関数 である。
一般化された誤差関数
一般化された誤差関数
E
n
(
x
)
{\displaystyle E_{n}\left(x\right)}
のグラフ: 灰色:
E
1
(
x
)
=
(
1
−
exp
−
x
)
π
{\displaystyle E_{1}\left(x\right)={\frac {\left(1-\exp ^{-x}\right)}{\sqrt {\pi }}}}
赤:
E
2
(
x
)
=
erf
(
x
)
{\displaystyle E_{2}\left(x\right)=\operatorname {erf} \left(x\right)}
緑:
E
3
(
x
)
{\displaystyle E_{3}\left(x\right)}
青:
E
4
(
x
)
{\displaystyle E_{4}\left(x\right)}
金:
E
5
(
x
)
{\displaystyle E_{5}\left(x\right)}
書籍 によっては、より一般化した関数 を論じている場合もある。
E
n
(
x
)
=
n
!
π
∫
0
x
e
−
t
n
d
t
=
n
!
π
∑
p
=
0
∞
(
−
1
)
p
x
n
p
+
1
(
n
p
+
1
)
p
!
{\displaystyle E_{n}\left(x\right)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,}
例えば、
E
0
(
x
)
{\displaystyle E_{0}\left(x\right)}
は原点 を通る直線
E
0
(
x
)
=
x
exp
π
{\displaystyle E_{0}\left(x\right)={\frac {x}{\exp {\sqrt {\pi }}}}}
となる。
E
2
(
x
)
{\displaystyle E_{2}\left(x\right)}
は誤差関数
erf
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)}
である。
n
!
{\displaystyle n!}
で割る と、奇数 の
n
{\displaystyle n}
についての
E
n
{\displaystyle E_{n}}
は互いに似たようなものになる(完全に一致する事は無い)。
同様に、偶数 の
n
{\displaystyle n}
についての
E
n
{\displaystyle E_{n}}
も
n
!
{\displaystyle n!}
で割ると互いに似たものになる(完全に一致する事は無い)。
n
>
0
{\displaystyle n>0}
での全ての一般化された誤差関数 の
x
{\displaystyle x}
が正 のときのグラフ は互いに似ている。
これらの一般化された誤差関数 も x > 0 の場合にガンマ関数 と不完全ガンマ関数 を使って次のように表せ る。
E
n
(
x
)
=
Γ
(
n
)
(
Γ
(
1
n
)
−
Γ
(
1
n
,
x
n
)
)
π
,
x
>
0
{\displaystyle E_{n}\left(x\right)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0}
従って、誤差関数 は不完全ガンマ関数を使って次のように表せる。
erf
(
x
)
=
1
−
Γ
(
1
2
,
x
2
)
π
{\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}}
相補誤差関数の累次積分
相補誤差関数 の累次積分 は次のように定義 される。
i
n
erfc
(
z
)
=
∫
z
∞
i
n
−
1
erfc
(
ζ
)
d
ζ
{\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta \,}
これらには次のような冪級数 がある。
i
n
erfc
(
z
)
=
∑
j
=
0
∞
(
−
z
)
j
2
n
−
j
j
!
Γ
(
1
+
n
−
j
2
)
{\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,}
ここから次のような対称性 が得られる。
i
2
m
erfc
(
−
z
)
=
−
i
2
m
erfc
(
z
)
+
∑
q
=
0
m
z
2
q
2
2
(
m
−
q
)
−
1
(
2
q
)
!
(
m
−
q
)
!
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}
および、
i
2
m
+
1
erfc
(
−
z
)
=
i
2
m
+
1
erfc
(
z
)
+
∑
q
=
0
m
z
2
q
+
1
2
2
(
m
−
q
)
−
1
(
2
q
+
1
)
!
(
m
−
q
)
!
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,}
実装
C言語 の場合、C99 でヘッダファイル の<math.h>
にdouble erf(double x)
およびdouble erfc(double x)
という関数 が宣言されている。
{erff()
, erfcf()
}という関数ペアはfloat
型の値 を扱い、{erfl()
, erfcl()
}という関数ペアはlong double
型の値を扱う。
C++ でも、C++11 で<cmath>
のヘッダファイル にerf
およびerfc
が宣言されている。double
、float
およびlong double
型がオーバーロードされている。
複素数 を扱える誤差関数の実装は少ない。例えば、図2のようなグラフ の描画は、Mathematica を一般的な性能のコンピュータ で実行した場合に数分かかる。
FORTRAN では、例えば、GFortran がERF(X)
と倍精度のDERF(X)
を提供している。
数表
x
erf(x)
erfc(x)
x
erf(x)
erfc(x)
0.00
0.0000000
1.0000000
1.30
0.9340079
0.0659921
0.05
0.0563720
0.9436280
1.40
0.9522851
0.0477149
0.10
0.1124629
0.8875371
1.50
0.9661051
0.0338949
0.15
0.1679960
0.8320040
1.60
0.9763484
0.0236516
0.20
0.2227026
0.7772974
1.70
0.9837905
0.0162095
0.25
0.2763264
0.7236736
1.80
0.9890905
0.0109095
0.30
0.3286268
0.6713732
1.90
0.9927904
0.0072096
0.35
0.3793821
0.6206179
2.00
0.9953223
0.0046777
0.40
0.4283924
0.5716076
2.10
0.9970205
0.0029795
0.45
0.4754817
0.5245183
2.20
0.9981372
0.0018628
0.50
0.5204999
0.4795001
2.30
0.9988568
0.0011432
0.55
0.5633234
0.4366766
2.40
0.9993115
0.0006885
0.60
0.6038561
0.3961439
2.50
0.9995930
0.0004070
0.65
0.6420293
0.3579707
2.60
0.9997640
0.0002360
0.70
0.6778012
0.3221988
2.70
0.9998657
0.0001343
0.75
0.7111556
0.2888444
2.80
0.9999250
0.0000750
0.80
0.7421010
0.2578990
2.90
0.9999589
0.0000411
0.85
0.7706681
0.2293319
3.0
0.9999779
0.0000221
0.90
0.7969082
0.2030918
3.10
0.9999884
0.0000116
0.95
0.8208908
0.1791092
3.20
0.9999940
0.0000060
1.00
0.8427008
0.1572992
3.30
0.9999969
0.0000031
1.10
0.8802051
0.1197949
3.40
0.9999985
0.0000015
1.20
0.9103140
0.0896860
3.50
0.9999993
0.0000007
関連項目
脚注・出典
^ a b W. J. Cody, "Algorithm 715: SPECFUN—A portable FORTRAN package of special function routines and test drivers," ACM Trans. Math. Soft. 19 , pp. 22–32 (1993).
'^ M. R. Zaghloul, "On the calculation of the Voigt line profile: a single proper integral with a damped sine integrand," Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 375 , pp. 1043–1048 (2007).
^ InverseErf functions.wolfram.com
参考文献
外部リンク