ランベルトのW関数

ランベルトのW関数(ランベルトのだぶりゅーかんすう、Lambert's W function) とは、次の関数の逆関数である。

$f(w)=we^{w}\,$

ただし、e^w は指数関数、 $w$ は任意の複素数である。

概要

「ランベルトのW関数」という名前は、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトにちなんで名づけられた。また、オメガ関数(―かんすう、Omega function)、対数積(たいすうせき、product log) という呼び名もある。

ランベルトのW関数は、通常 $W(z)$ と表記される。ここで、任意の複素数 $z$ に対して、次式が成立する。

$z=W(z)e^{W(z)}\,$

関数 f は (−∞, 0) において単射ではないため、関数 W は [-1⁄e, 0) で多価となる。もし、定義域を実数 x ≥ −1⁄e、値域を w ≥ − 1 に制限するとすれば (これを分岐 (branch cut, en) と呼ぶ)、グラフで示した一価の関数 W₀(x) が定義される。特に、W₀(0)=0, W₀(−1⁄e)=−1 である。

ランベルトのW関数は、初等関数では表現できない。これは、木の数え上げなどの、組合せ論の分野において有用である。また、これは、指数関数を含む様々な方程式を解くのに使われたり、y′(t) = ay(t−1) のような遅延微分方程式（英語版）(time-delayed differential equations) の解に現れたりする。

陰関数の微分公式によって、W を次のような微分方程式を満たすものとして表示できる。

$z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad \mathrm {for\ } z\neq -1/e$

W₀ の 0 近傍におけるテイラー級数は、ラグランジュ逆定理（英語版）を用いると求めることができ、次式で与えられる。

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots$

ダランベールの収束判定法によると、収束半径は 1⁄e である。この級数によって定義された関数は、定義域が複素数全体で、分岐を区間 (−∞, 1⁄e] に持つ正則関数に拡張することができる。この関数は、ランベルトのW関数の主値として定義される。

方程式の求解への応用

指数関数を含む方程式の多くは、W関数を用いることで解くことができる。主な方針は、未知数を含む項を方程式の左辺（あるいは右辺）に寄せ、W関数で解を表現できる x e^x の形にすることである。例えば、方程式 $2^{t}=5t$ を解くには、両辺を 2^t で割り、1=5 te^{(−ln(2) t)} と変形する。そして両辺を 5 で割り、−ln(2) を掛ける。すると、−ln(2)⁄5 = −ln(2) t e^{(−ln(2) t)} となる。ここで、W関数を用いれば、−ln(2) t = W(−ln(2)⁄5)、即ち t = −W(-ln(2)⁄5)/ln(2) となる。

同様の方法で、x^x = z の解は、

$x={\frac {\ln(z)}{W(\ln(z))}}$

あるいは

x=exp(W(ln(z)))

となる。

複素数の無限回の累乗

$z^{z^{z^{\cdots }}}\!$

が収束するとき、ランベルトのW関数を用いれば、その極限値を次のように表現できる。

$c={\frac {W(-\log(z))}{-\log(z)}}$

ただし、log(z) は複素対数関数の主値とする。

関数 $W(x)$ 、あるいは $W(x)$ を使って表現される関数の積分は、多くの場合 $w=W(x)$ (即ち、 $x=we^{w}$ ) と置換することで解ける。

$\int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.$

特殊値

$W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}$

$W\left(-{1 \over e}\right)=-1$

$W\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 2$

$W(0)=0\,$

$W(e)=1\,$

$W(1)=\Omega \,$ （オメガ定数）

一般化

標準的なランベルトのW関数を用いることで、次の形の（xに関する）"超越代数"方程式の厳密解が表示される。

e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \quad (1)

ここで、a₀, c と r は実数の定数であり、解は $x=r+{\frac {1}{c}}W\!\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}\right)\,$ となる。 Lambert W関数の一般化^[1]^[2]^[3]は以下の状況がある。

低次元空間における一般相対性理論と量子力学 (量子重力理論) の応用は実にこれまで違ったようにこの2領域に繋がっている。例えば、”Journal of Classical and Quantum Gravity”^[4]で示しているように、(1)のイコールの右にある部分は二次元多項式 ’’x’’で、

e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)

となる。そのうち、 r₁ と r₂ は別々の定数であって、二次元多項式の根でもある。関数の解には x という単一引数があったが、r_i と a_o は関数の媒介変数である。そうすれば、”hypergeometric”(超幾何級数)のような関数（超幾何分布）と”Meijer G”は異なった階層の関数に属している。r₁ = r₂ のようになると、(2)の両側の式を(1)に分解できる。したがって、その解を簡素化して標準的W関数にすることができる。(2)の式は”dilaton”(アクシオン) の方程式を表していて、そしてそれは一次元空間に不均質にチャージする為の量子力学におけるダブルウェールディラックによるデルタ関数モデルの固有エネルギーと同様に不均等な残りの総体の為に1+1 次元（一次元空間及び一次元時間）の中にある、R=Tか二体重力の問題の測定基準によって導き出された。

量子力学における三体問題の特別な場合、即ち（三次元）水素分子イオン^[5]における固有エネルギーの解析解に関して。この場合式(1)（あるいは(2)）の右辺は、x についての無限次元多項式の比によって次のようになる。

e^{-cx}=a_{o}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)

ここで r_i と s_i は異なる実数の定数であり、x は固有エネルギーと核間距離 R の関数である。式(3)とその特別な場合である式(1)(2)は、大きなクラスの遅延微分方程式（英語版）と関係がある。

物理学の基礎的な問題におけるランベルトのW関数の応用はまだ出尽くしていない。これは近年原子・分子・光物理学（英語版）で見られるような、式(1)で表される標準的な問題についても言える。^[6]

数値計算

W関数は、漸化式

$w_{j+1}=w_{j}-{\cfrac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\cfrac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}$

を用いることで数値計算することができる。この計算法は、コーレス(Corless) らによって与えられた。これを計算する Python のコードを以下に示す。誤差の評価には、シャポー゠ブロンドー(Chapeau-Blondeau) とモニール(Monir) によるものを用いている。

#!/usr/bin/env python2
import math

class Error(Exception):
    pass

def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in xrange(100):
        wTimesExpW = w * math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w+1) * math.exp(w)
        if prec > abs((x-wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
            break
        w = w - (wTimesExpW-x)/(
            wPlusOneTimesExpW - (w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2))
    else:
        raise Error("W doesn't converge fast enough for {}".format(x))
    return w

これは、 $x>1/e$ における主値を計算するものである。初期値の選び方次第で、性能を上げることができる。

以下に示す閉じた形の近似は、さほど精度を要求ない場合や、上のコードに少ない反復回数で優れた初期値を与える際に用いる。

double
desy_lambert_W(double x) {
      double  lx1;
      if (x <= 500.0) {
              lx1 = log(x + 1.0);
              return 0.665 * (1 + 0.0195 * lx1) * lx1 + 0.04;
      }
      return log(x - 4.0) - (1.0 - 1.0/log(x)) * log(log(x));
}

（http://www.desy.de/~t00fri/qcdins/texhtml/lambertw/ より）

Mathematica には ProductLog という名前で実装されており、値を対話的な操作で計算したり、解析的な演算 (不定積分、微分など) をしたり、プロットしたりできる^[7]。またフリーのC言語のライブラリである GNU Scientific Library では gsl_sf_lambert_W0 という名前などで実装されている^[8]。

脚注

^ Scott, T.C.; Mann, R.B.; Martinez Ii, Roberto E. (2006). “General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function”. AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) 17 (1): 41–47. arXiv:math-ph/0607011. doi:10.1007/s00200-006-0196-1.
^ Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J. (2013). “Asymptotic series of Generalized Lambert W Function”. SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) 47 (185): 75–83.
^ Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J.; Zhang, W.Z. (2014). “Numerics of the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM 48 (188): 42–56.
^ P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [1]; Arxiv [2]
^ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [3]; Arxiv [4]
^ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [5]
^ Wolfram research の解説ページ (英語)
^ GSL reference manual の Lambert W Functions の項 (英語)

参考文献・外部リンク

Corless et al. "On the Lambert W function" Adv. Computational Maths. 5, 329 - 359 (1996) (PostScript)
Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A: "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2", IEEE Trans. Signal Processing, 50(9), 2002
MathWorld - Lambert W-Function
Lambert function from Wolfram's function site.
Francis et al. "Quantitative General Theory for Periodic Breathing" Circulation 102 (18): 2214. (2000). Use of Lambert function to solve delay-differential dynamics in human disease.
Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
Computing the Lambert Wfunction

[1] Scott, T.C.; Mann, R.B.; Martinez Ii, Roberto E. (2006). “General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function”. AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) 17 (1): 41–47. arXiv:math-ph/0607011. doi:10.1007/s00200-006-0196-1.

[2] Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J. (2013). “Asymptotic series of Generalized Lambert W Function”. SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) 47 (185): 75–83.

[3] Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J.; Zhang, W.Z. (2014). “Numerics of the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM 48 (188): 42–56.

[4] P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [1]; Arxiv [2]

[5] T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [3]; Arxiv [4]

[6] T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [5]

[7] Wolfram research の解説ページ (英語)

[8] GSL reference manual の Lambert W Functions の項 (英語)

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[8]

概要

方程式の求解への応用

特殊値

一般化

数値計算

関連項目

脚注

参考文献・外部リンク