オメガ定数

オメガ定数(―ていすう、Omega constant) とは、次式で定義される数学定数である。

$\Omega\,\exp(\Omega)=1.$

これは、W(1) （ただし、W: ランベルトのW関数）の値である。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。

Ω の値は、おおよそ 0.5671432904097838729999686622 である。オメガ定数は、黄金比に似た性質を持っている。これは

e - Ω = Ω,

が、

ln(1 / Ω) = Ω.

と同値であるということである。このことから、初期値 Ω₀ から初めて、Ω が次の漸化式を用いて反復計算できることがわかる。

$\Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}.$

この数列は、n→∞ とすると Ω に収束する。

[編集] 無理数性

Ω が無理数であることは、e が超越数であるということから証明することができる。Ω を有理数と仮定すれば、次式を満たす p, q が存在する。

$\frac{p}{q} = \Omega.$

即ち、

$1 = \frac{p e^{\frac{p}{q}}}{q}.$

$e = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}.$

これは、e が p 次の代数的数であることを示している。ところが、e は超越数であるから、Ω は無理数でなければならない。