ミカエリス・メンテン式

ミカエリス・メンテン式（—しき、英: Michaelis-Menten kinetics）とは、酵素の反応速度論に大きな業績を残したレオノール・ミカエリスとモード・レオノーラ・メンテンにちなんだ、酵素の反応速度v に関する式で、

$v = \frac{V_\mathrm{max}[S]}{K_m + [S]}$

で表される。ここで、[S ]は基質濃度、V_maxは基質濃度が無限大のときの反応速度、K_m はミカエリス・メンテン定数である。

迅速平衡法で求めるミカエリス・メンテン式

酵素（以下E）が基質（以下S）と結合して酵素基質複合体（以下ES）を形成、ESがEとSに戻るか反応生成物（以下P）を生成する一連の反応機構を以下のように仮定する。

この反応は$E+S \Leftrightarrow ES$と$ES \rarr E+P$の2つの反応過程からできている。後者の反応を律速段階と仮定し反応速度定数を$k_{+2}$と設定する。

$k_{+2} = ES \rarr E+P$

$E+S \Leftrightarrow ES$の反応は迅速に平衡に達していると仮定し、解離定数を$K_s$と設定する。

$K_s = \frac{[E][S]}{[ES]} \cdots (1)$

仮定されている反応系に存在する酵素種は、基質と結合していない酵素 E と、基質 S と結合した酵素 ES の2種類のみなので、全酵素濃度$[E]_0$は両者の濃度の和に等しい。

$[E] + [ES] = [E]_0 \cdots (2)$

[ES] を未知数として (1), (2) の連立方程式を解くと、

$[ES] = \frac{[E]_0[S]}{K_s + [S]} \cdots (3)$

最初に仮定した反応機構では単位時間当たりに産生される反応産物Pの量は酵素基質複合体ESと速度定数$k_{+2}$の積で与えられる。

$v = \frac{d[P]}{dt} = k_{+2} [ES] \cdots (4)$

(3)を(4)に代入して、

$v = \frac{ k_{+2} [E]_0 [S]}{K_s + [S]} \cdots (5)$

(4)式から反応速度 v は [ES] に比例することがわかるが、[ES] の最大値は(2)式より$[E]_0$である。したがって反応速度 v の最大値$V_\mathrm{max}$は$k_{+2}[E]_0$となる。

$V_\mathrm{max} = k_{+2} [E]_0 \cdots (6)$

(5), (6)より、

$v = \frac{V_\mathrm{max}[S]}{K_S + [S]}$

$E+S \Leftrightarrow ES$が迅速に平衡に達すると仮定されているためこの式では$ES \rarr E+P$の速度定数が$E+S \Leftrightarrow ES$の速度定数よりもはるかに小さい反応にしか成り立たないが、次の定常状態法によって求めることで一般の反応でも同様の式が成り立つことが証明された。

定常状態法で求めるミカエリス・メンテン式

反応機構は同様で、$E+S \Leftrightarrow ES$について右向きの速度定数を$k_{+1}$、左向きの速度定数を$k_{-1}$とする。

各酵素種の経時的濃度変化はゼロであるという式を作る。

$\begin{align} \frac{d[E]}{dt} &= (k_{-1} + k_{+2})[ES] - k_{+1}[E][S] = 0 \cdots (1) \\ \frac{d[ES]}{dt} &= k_{+1}[E][S] - (k_{-1} + k_{+2})[ES] = 0 \cdots (2)\end{align}$

この反応機構では E と ES しか酵素種が存在しないので

$[E] + [ES] = [E]_0 \cdots (3)$

反応産物は ES より$k_{+2}$の速度で生成されるので

$v = \frac{d[P]}{dt} = k_{+2}[ES] \cdots (4)$

(1)または(2)式と(3)式を連立方程式とみなして [ES] を求めると

$[ES] = \frac{k_{+1}[E]_0[S]}{k_{-1} + k_{+2} + k_{+1}[S]} \cdots (5)$

(5)式を(4)式に代入して速度式vを得た後、分子分母を$k_{+1}$で割る。

$v = \frac{k_2 [E]_0 [S] }{ \frac{k_{-1} + k_{+2}}{k_{+1}} + [S]} \cdots (6)$

速度パラメーターとして$V_\mathrm{max} = k_{+2} [E]_0, K_m = \frac{k_{-1} + k_{+2}}{k_{+1}} \cdots (7)$と定義する。

(6),(7)式より

$v = \frac{V_\mathrm{max}[S]}{K_m + [S]}$

となる。

ここで出てくる$V_\mathrm{max}$と$K_m$の値は実験ではハーネスウルフプロットやコーニッシュボーデンの直接的直線プロットで求めることができる。または

$v^{-1} = \frac{1}{V_\mathrm{max}} + \frac{K_m}{V_\mathrm{max}}[S]^{-1}$

と式変形できるため、横軸に[S ]^-1 を、縦軸にv^-1 をとってプロットすれば直線となり、最小二乗法などを用いて求めることもできる。これをラインウィーバー・バークのプロット（Lineweaver-Burke plot）という。

ミカエリス・メンテン式から求めた値で反応速度と基質濃度のグラフを作ると次のようになる。

ミカエリス・メンテン定数

ミカエリス・メンテン式の$K_m$をミカエリス・メンテン定数といい、v = V_max /2（最大速度の半分の速度）を与える基質濃度を表す。

ミカエリス・メンテン式の積分

ミカエリス・メンテン式の左辺は、$S$ の時間微分である。つまり微分方程式としてみることができ、そのときこれは変数分離形である。しかしその解は初等関数で表現できる形にはならず、ランベルトのW関数 $W$ を用いて以下のように表される。

$S(t) = K_m W\left(\frac{1}{K_m}{\exp\left[\frac{(t V_{max}+C)}{K_m}\right]}\right)$

ここで $C$ は積分定数である。

阻害がある場合のミカエリス・メンテン式

阻害とは何らかの理由で反応が遅くなることで、酵素反応の阻害には

• 基質阻害
• 競争阻害(競合阻害)
• 非競争阻害(非競合阻害)
• 不競争阻害(不競合阻害)
• 混合型阻害

などの種類があり、これらを見分けるときに両逆数プロットが使われる。

基質阻害

次の図のように酵素基質複合体がさらに基質と結合して不活性となる場合を言う。

この場合の解離定数は

$K_{ss} = \frac{[ES][S]}{[ESS]}$

含まれる酵素種は E, ES と ESS の3種類なので、全酵素濃度は

$[E]_0 = [E] + [ES] + [ESS]$

その他の値は迅速平衡法でミカエリス・メンテン式を求めた時のままで連立方程式を作り [ES] を求めると、

$[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_s + [S] + [S]^2/K_{ss}}$

これを$v = k_{+2}[ES]$に代入しパラメーター$V_\mathrm{max}$に変えると、

$v = \frac{V_\mathrm{max}[S]}{K_s + [S] + [S]^2/K_{ss}}$

競争阻害

競争阻害とは基質と阻害剤(以下、I)が酵素の同じ活性中心に結合する場合に起こる阻害のこと。

反応機構は次の図の通り。

基質と阻害剤の解離定数は

$K_i = \frac{[E][I]}{[EI]}$

含まれる酵素種は E, ES と EI の3種類なので、全酵素濃度は

$[E]_0 = [E] + [ES] + [EI]$

他の値は迅速平衡法で求めた時と同じで連立方程式を作り [ES] を求めると、

$[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_s (1 + [I]/K_i) + [S]}$

これを$v=k_{+2}[ES]$に代入しパラメーター$V_\mathrm{max}$に変えると、

$v = \frac{V_\mathrm{max}[S]}{(1 + [I]/K_i)K_s + [S]}$

非競争阻害

基質と阻害剤が酵素の異なる部位に結合し、両者が互いに他の結合に影響を及ぼさない場合を非競争阻害という。

反応機構は次の図の通り

解離定数は、基質が遊離の酵素に結合するときも酵素阻害剤複合体に結合するときも同じで、阻害剤の結合定数も同様なので、

$K_s = \frac{[E][S]}{[ES]} = \frac{[EI][S]}{[ESI]}$
$K_i = \frac{[E][I]}{[EI]} = \frac{[ES][I]}{[ESI]}$

反応機構の中にある酵素種は E, ES, EI と ESI の4種類なので、全酵素濃度は

$[E]_0 = [E] + [ES] + [EI] + [ESI]$

この3つの式で連立方程式を作り、[ES] について求めると、

$[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{(1 + [I]/K_i)(K_s + [S])}$

これを$v = k_{+2}[ES]$に代入しパラメーター$V_\mathrm{max}$に変えると、

$v = \frac{\frac{V_\mathrm{max}}{1 + [I]/K_i} [S]}{K_s + [S]}$

不競争阻害

基質と阻害剤が酵素の異なる部位に結合するが、阻害剤は遊離の酵素には結合できず、酵素基質複合体のみに結合できる場合を不競争阻害という。

反応機構は次の図の通り

解離定数は、

$K_s = \frac{[E][S]}{[ES]}$
$K_i = \frac{[ES][I]}{[ESI]}$

反応機構の中にある酵素種は E, ES, ESI の3種類なので、全酵素濃度は

$[E]_0 = [E] + [ES] + [ESI]$

この3つの式から連立方程式を作り、[ES] について求めると、

$[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_s + (1 + [I]/Ki)[S]}$

これを$v = k_{+2}[ES]$に代入しパラメーター$V_\mathrm{max}$に変えると、

$v = \frac{\frac{V_\mathrm{max}}{1 + [I]/K_i}[S]}{\frac{K_s}{1 + [I]/Ki} + [S]}$

混合型阻害

この節は執筆中です。加筆、訂正して下さる協力者を求めています。

関連項目

• 酵素
• 酵素反応
• 酵素反応速度論
• 反応速度論
• ラングミュアの吸着等温式

外部リンク

• ミカエリス・メンテン式 - 脳科学辞典