ランベルトのW関数

ランベルトのW関数(ランベルトのだぶりゅーかんすう、Lambert's W function) とは、次の関数の逆関数である。

−¹⁄_e ≤ x ≤ 4 における W₀(x) のグラフ。

$f(w) = w e^w\,$

ただし、e^w は指数関数、$w$ は任意の複素数である。

概要

「ランベルトのW関数」という名前は、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト にちなんで名づけられた。また、オメガ関数(―かんすう、Omega function)、対数積(たいすうせき、product log) という呼び名もある。

ランベルトのW関数は、通常 $W(z)$ と表記される。ここで、任意の複素数 $z$ に対して、次式が成立する。

$z = W(z)e^{W(z)}\,$

関数 f は (−∞, 0) において単射ではないため、関数 W は [-¹⁄_e, 0) で多価となる。もし、定義域を実数 x ≥ −¹⁄_e、値域を w ≥ − 1 に制限するとすれば (これを分岐 (branch cut, en) と呼ぶ)、グラフで示した一価の関数 W₀(x) が定義される。特に、W₀(0)=0, W₀(−¹⁄_e)=−1 である。

ランベルトのW関数は、初等関数では表現できない。これは、木の数え上げなどの、組合せ論の分野において有用である。また、これは、指数関数を含む様々な方程式を解くのに使われたり、y′(t) = ay(t−1) のような遅延微分方程式(time-delayed differential equations) の解に現れたりする。

陰関数の微分公式によって、W を次のような微分方程式を満たすものとして表示できる。

$z(1+W)\frac{dW}{dz}=W\quad\mathrm{for\ }z\neq -1/e$

W₀ の 0 近傍におけるテイラー級数は、ラグランジュの逆転の定理 (en) を用いると求めることができ、次式で与えられる。

$W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots$

ダランベールの収束判定法によると、収束半径は ¹⁄_e である。この級数によって定義された関数は、定義域が複素数全体で、分岐を区間 (−∞, ¹⁄_e] に持つ正則関数に拡張することができる。この関数は、ランベルトのW関数の主値として定義される。

方程式の求解への応用

指数関数を含む方程式の多くは、W関数を用いることで解くことができる。主な方針は、未知数を含む項を方程式の左辺（あるいは右辺）に寄せ、W関数で解を表現できる x e^x の形にすることである。例えば、方程式 $2^t = 5t$ を解くには、両辺を 2^t で割り、1=5 te^{(−ln(2) t)} と変形する。そして両辺を 5 で割り、−ln(2) を掛ける。すると、−^ln(2)⁄₅ = −ln(2) t e^{(−ln(2) t)} となる。ここで、W関数を用いれば、−ln(2) t = W(−^ln(2)⁄₅)、即ち t = −W(^ln(2)⁄₅)/ln(2) となる。

同様の方法で、x^x = z の解は、

$x=\frac{\ln(z)}{W(\ln(z))}$

あるいは

x=exp(W(ln(z)))

となる。

複素数の無限回の累乗

$z^{z^{z^{\cdots}}} \!$

が収束するとき、ランベルトのW関数を用いれば、その極限値を次のように表現できる。

$c=\frac{W(-\log(z))}{-\log(z)}$

ただし、log(z) は複素対数関数の主値とする。

関数 $W(x)$、あるいは $W(x)$ を使って表現される関数の積分は、多くの場合 $w=W(x)$ (即ち、$x=we^w$) と置換することで解ける。

$\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C.$

特殊値

$W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{i\pi}{2}$

$W\left(-{1\over e}\right) = -1$

$W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2$

$W(0) = 0\,$

$W(e) = 1\,$

$W(1) = \Omega\,$ （オメガ定数）

数値計算

W関数は、漸化式

$w_{j+1}=w_j-\cfrac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\cfrac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)} {2w_j+2}}$

を用いることで数値計算することができる。この計算法は、コーレス(Corless) らによって与えられた。これを計算する Python のコードを以下に示す。誤差の評価には、Chapeau-Belandeau と Monir によるものを用いている。

import math
 
class Error(Exception):
        pass
 
def lambertW(x, prec=1e-12):
        w = 0
        for i in xrange(100):
                wTimesExpW = w*math.exp(w)
                wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w)
                if prec>abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW):
                        break
                w = w-(wTimesExpW-x)/(
                        wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2))
        else:
                raise Error, "W doesn't converge fast enough for %f"%x
        return w

これは、$x>1/e$ における主値を計算するものである。初期値の選び方次第で、性能を上げることができる。

以下に示す閉じた形の近似は、さほど精度を要求ない場合や、上のコードに少ない反復回数で優れた初期値を与える際に用いる。

double
desy_lambert_W(double x) {
      double  lx1;
      if (x <= 500.0) {
              lx1 = log(x + 1.0);
              return 0.665 * (1 + 0.0195 * lx1) * lx1 + 0.04;
      }
      return log(x - 4.0) - (1.0 - 1.0/log(x)) * log(log(x));
}

（http://www.desy.de/~t00fri/qcdins/texhtml/lambertw/ より）

Mathematica には ProductLog という名前で実装されており、値を対話的な操作で計算したり、解析的な演算 (不定積分、微分など) をしたり、プロットしたりできる。またフリーのC言語のライブラリである GNU Scientific Library では gsl_sf_lambert_W0 という名前などで実装されている。

関連項目

• ミカエリス・メンテン式

参考文献・外部リンク

• Corless et al. "On the Lambert W function" Adv. Computational Maths. 5, 329 - 359 (1996) (PostScript)
• Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A: "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2", IEEE Trans. Signal Processing, 50(9), 2002
• MathWorld - Lambert W-Function
• Lambert function from Wolfram's function site.
• Francis et al. "Quantitative General Theory for Periodic Breathing" Circulation 102 (18): 2214. (2000). Use of Lambert function to solve delay-differential dynamics in human disease.
• Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
• Computing the Lambert Wfunction