材料の構成式

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連続体力学
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材料の構成式(ざいりょうのこうせいしき、Constitutive Equation of Materials)とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現であり、固体流体連続体に理想化した場合における力と変形との関係(実際には応力ひずみとの関係)を記述するものである。構成則と呼ばれることもある。一方、構成式は材料試験に基づいて供試体の寸法スケールでの巨視的な応力とひずみとの応答挙動を現象論的に数理モデル化したものが多いことから、構成モデルと呼ばれることも多い。一方、材料の微視構造に着目して、変形の素過程に立ち返って構築された構成式もある。

構成式は材料の性質を反映するものであるため、材料特性に関係する定数、すなわち材料定数が必ず含まれる[1]

構成則が具備すべき性質[編集]

物質客観性の原理[編集]

材料固有の性質は観測者(標構)によらず不変である。これを物質客観性の原理、あるいは物質標構無差別性の原理という。例えば、ある配置での構成式を形式的に

\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathcal{F}} (\boldsymbol{F})

と書く。ここで、\boldsymbol{\sigma} はCauchy応力テンソル\boldsymbol{F}変形勾配テンソルであり、\boldsymbol{\mathcal{F}} は材料の構成関係を表すテンソル値テンソル関数である。物質客観性の原理を満たすためには、観測者の変化に対して構成式は不変でなければならない。言い換えれば、上式を考えた配置に対して剛体並進・回転だけの付加的な運動が生じても、関数 \boldsymbol{\mathcal{F}} の形は変わらないものでなければならない。直交テンソル \boldsymbol{Q} \in \mathrm{SO}(n_{\mathrm{dim}}) により表される剛体回転の運動を考えると、この剛体回転が生じた後の配置でのCauchy応力テンソル \boldsymbol{\sigma}^{\ast}\boldsymbol{F}^{\ast} はそれぞれ次のようになる:

\boldsymbol{\sigma}^{\ast} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}},
\quad \boldsymbol{F}^{\ast} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{F}.

物質客観性の原理を満たすためには、剛体回転後の配置におけるこれらふたつの量に対する構成式は次の形でなければならない:

\boldsymbol{\sigma}^{\ast} = \boldsymbol{\mathcal{F}} (\boldsymbol{F}^{\ast})
\quad \rightleftharpoons \quad
\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\mathcal{F}}(\boldsymbol{F}) \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{\mathcal{F}} (\boldsymbol{Q} \boldsymbol{F}).

応力決定の原理[編集]

局所作用の原理[編集]

構成則の分類[編集]

以下、\tauせん断応力\gammaせん断ひずみ\dot\tau=\mathrm{d}\tau/\mathrm{d}tせん断応力速度\dot\gamma=\mathrm{d}\gamma/\mathrm{d}tせん断ひずみ速度とおく。

弾性体
フックの法則に従う最も一般的な固体の構成式である。G横弾性係数と呼ばれる。
\tau=G\gamma
粘性体
ニュートンの粘性法則に従う最も一般的な流体の構成式である。ηは粘性係数と呼ばれる。
\tau=\eta\dot\gamma
塑性体
理想的な塑性体では、応力が常にせん断降伏応力k という材料定数に一致する。
\tau=k

上記の3つはいわば理想体であり、実在する材料に近づけるために、これらを組み合わせて様々なモデルが考えられている。

弾塑性体
サンブナンの固体
\tau=
        \begin{cases}
           G\gamma&(\gamma<k/G)\\
           k&(\gamma\geq k/G)
   \end{cases}
硬化塑性体
\tau=k+H\gammaH :定数
粘塑性体
ビンガムの固体ともいう。
\tau=k+\eta\dot\gamma
粘弾性体
マックスウェルの固体
応力緩和を表す。
\dot\gamma = \frac{\tau}{\eta}+\frac{\dot\tau}{G}
ケルビンの固体
弾性余効を表す。
\tau = G\gamma+\eta\dot\eta
弾粘塑性
弾性、粘性、塑性全ての性質を持つ。地盤のモデルとして使われることがある[要出典](詳細は土質力学#地盤内の応力と変位を参照)。

参考文献[編集]

  1. ^ 京谷孝史、非線形CAE協会編、 『よくわかる連続体力学ノート』 森北出版、2008年、211頁。ISBN 978-4-627-94811-2