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「四次方程式」の版間の差分

戻す(展開する必要性がないし,結果として横幅をめちゃくちゃ取っている). \over -> \frac については適切と思います
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(戻す(展開する必要性がないし,結果として横幅をめちゃくちゃ取っている). \over -> \frac については適切と思います)
:<math> \left(y^2 + \frac{p + u}{2}\right)^2 - u \left(y - \frac{q}{2u}\right)^2 = 0 </math>
と変形する。ここで上式を展開し係数を比較すると、''u'' の[[三次方程式]]
:{{math|''u'' (''p'' + ''u'')<sup>2</sup> &minus; 4 ''r u'' {{=}} ''q''<sup>2</sup>}}
:{{math|''u'' (''p'' + ''u''){{sup|2}} &minus; 4 ''r u'' {{=}} ''q''{{sup|2}} ⇔ ''u'' {(''p'' + ''u''){{sup|2}} &minus; 4 ''r''} {{=}} ''q''{{sup|2}} ⇔ ''u'' {(''p'' + ''u''){{sup|2}} &minus; 4 ''r''} - ''q''{{sup|2}} {{=}} 0 ⇔ ''u'' {''u''{{sup|2}} + 2 ''p u'' + (''p''{{sup|2}} &minus; 4 ''r'')} - ''q''{{sup|2}} {{=}} 0 ⇔ ''u''{{sup|3}} + 2 ''p'' ''u''{{sup|2}} + (''p''{{sup|2}} &minus; 4 ''r'') ''u'' - ''q''{{sup|2}} {{=}} 0}}
が得られる。このような補助的な方程式を、与えられた四次方程式に関する'''三次分解方程式'''(''resolvent cubic equation'') という。 ''q'' &ne; 0 なので、この分解方程式の解は ''u'' &ne; 0 を満たしており、この解の一つを ''u'' として取る。また、求める四次方程式は
:<math> \left\{ \left(y^2 + \frac{p + u}{2}\right) + \sqrt{u} \left(y - \frac{q}{2u}\right) \right\} \left\{ \left(y^2 + \frac{p + u}{2}\right) - \sqrt{u} \left(y - \frac{q}{2u}\right) \right\} = 0 \Longleftrightarrow \left\{y^2 + \sqrt{u} \left(y - \frac{q}{2u}\right) + \frac{p + u}{2} \right\} \left\{y^2 - \sqrt{u} \left(y - \frac{q}{2u}\right) + \frac{p + u}{2} \right\} = 0 \Longleftrightarrow \left\{y^2 + \left(\sqrt{u} y - \frac{q\sqrt{u}}{2u}\right) + \frac{p + u}{2} \right\} \left\{y^2 - \left(\sqrt{u} y - \frac{q\sqrt{u}}{2u}\right) + \frac{p + u}{2} \right\} = 0 \Longleftrightarrow \left\{y^2 + \sqrt{u} y - \left(\frac{q}{2\sqrt{u}} - \frac{p + u}{2}\right) \right\} \left\{y^2 - \sqrt{u} y - \left(-\frac{q}{2\sqrt{u}} - \frac{p + u}{2}\right) \right\} = 0 </math>
となり、この 2 つの二次方程式から、四次方程式の根を求めることができる。
 
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