「六角数」の版間の差分
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2008年8月6日 (水) 16:45時点における版
六角数(ろっかくすう、hexagonal number)とは多角数で、正六角形の形に点を下図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。六角数は無数にあり、そのなかでは1が最も小さい。4で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例:6(=1+5)、15(=1+5+9)、120(=1+5+9+13+17+21+25+29)
1 | 6 | 15 | 28 | |||
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n番目の六角数を Hn とすると上図より
- H1 = 1 , Hn+1 = Hn + 4n + 1
が導かれる。よって六角数の式は
これはn=1のときも成り立つ。六角数を小さいものから順に列記すると 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946,… となる。
n番目の六角数は2n-1番目(すなわち奇数番目)の三角数に等しい。ゆえに全ての六角数は三角数でもある。
また偶数の完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数でもある。
六角数は1から順に奇数と偶数が交互に現れる。また1以外の六角数は全て合成数である。
全ての自然数は高々6つの六角数の和で表わすことができる(→多角数定理)。 ただし1791よりも大きな自然数は4つの六角数の和で表わすことができ、十分に大きい自然数は3つの六角数の和で表わすことができる。6つの六角数が必要な数は11と26の二つのみで次のような和の形で表わされる。11=1+1+1+1+1+6 、26=1+1+6+6+6+6