コンテンツにスキップ

ベータ関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ベータ関数 (数学)から転送)

数学におけるベータ関数(ベータかんすう、: beta function)とは、特殊関数のひとつである。ベータ関数は、第一種オイラー積分とも呼ばれる(なお、ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は、第二種オイラー積分と呼ばれる)。

一般化された関数として、セルバーグ積分がある。

定義

[編集]

, を満たす複素数 , に対して、ベータ関数は次式で定義される:

性質

[編集]

対称性

[編集]

ベータ関数は次のような対称性を持つ。

証明

[編集]

置換積分による計算を行う。 とおくと、 であり、また積分区間は から へと変化するから、

したがって、 が示された。

関数等式

[編集]

ベータ関数は次の関係式を満たす。

積分表示

[編集]

変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも、定義域は である。

ポッホハマーの表示

[編集]

リーマン面上の積分路として、実軸上の 内の点から出発し、 を正の向きに、 を正の向きに、 を負の向きに、 を負の向きの順で回って、元の点に戻るポッホハマーの積分路英語版を取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。

ガンマ関数との関係

[編集]

ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。

級数表示

[編集]

ただし、下降階乗冪:

である。

無限乗積表示

[編集]

評価

[編集]

スターリングの公式より、複素数 の実部が十分大きな正の値であるとき、

一方、 が十分大きく が固定されているとき、

特殊値

[編集]

複素数 に対して、以下が成り立つ。

特に、

非負の整数 に対して、以下が成り立つ。

参考文献

[編集]
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目

[編集]

外部リンク

[編集]
  • ベータ関数の積分公式』 - 高校数学の美しい物語
  • ベータ関数』 - コトバンク
  • ベータ関数とは? ~ 性質と公式 ~ - 数理アラカルト
  • ベータ関数とは~定義と性質8つとその証明~ - 数学の景色
  • ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 - 数学の景色
  • Weisstein, Eric W. "Beta Function". mathworld.wolfram.com (英語).