コッホ曲線

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コッホ曲線(コッホきょくせん、英語: Koch curve)はフラクタル図形の一つ。スウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホ (Helge von Koch) が考案した。線分を3等分し、分割した2点を頂点とする正三角形の作図を無限に繰り返すことによって得られる図形である。1回の操作で線分の長さが 4/3 倍になるので、操作を無限に繰り返して得られるコッホ曲線の長さは無限大である。完全なものは作図することができない。

コッホ曲線は相似比が1/3の4個のセグメントから成っているので、フラクタル次元log4 / log3 = 1.26186...次元である。

コッホ曲線の書き方[編集]

コッホ曲線は前に述べたとおり完全なものは作図できない。ただし近似形であれば以下の方法で作図できる。

Koch curve (L-system construction).jpg

  1. 線分を引く。(図左上)
  2. 線分を3等分し、中央の線分を1辺とする正三角形を描き、下の辺を消す。(図右上)
  3. 得られた4つの線分に対して同じ操作を繰り返す。(図左下)
  4. 得られた16の線分に対して同じ操作を繰り返す。(図右下)

この操作を無限に繰り返すとコッホ曲線になる。

コッホ曲線

コッホ雪片[編集]

最初の7回の繰り返しを示すアニメーション。

コッホ雪片(コッホせっぺん)は、上記のコッホ曲線をつなぎ合わせ、始点と終点を一致させたものである。

コッホ雪片は、有限の面積であるにもかかわらず、無限の周囲を持つ。

関連項目[編集]