シュテファン＝ボルツマンの法則

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シュテファン＝ボルツマンの法則（シュテファンボルツマンのほうそく、Stefan-Boltzmann law）は、黒体の表面から単位面積、単位時間当たりに放出される電磁波のエネルギー I が、その黒体の熱力学温度 T の 4 乗に比例するという物理法則である。ステファン＝ボルツマンの法則ともいう。ヨーゼフ・シュテファンが本法則を実験的に明らかにし（1879年）、弟子のルートヴィッヒ・ボルツマンが理論的な証明を与えた（1884年）。

I と T の間には

$I = \sigma T^4$

という関係が成り立つ。この時の比例係数 σ が、シュテファン＝ボルツマン定数（ステファン＝ボルツマン定数）である。この定数の値は、

$\sigma \simeq 5.67 \times 10^{-8} \, [\mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-4}]$

である。

[編集] プランクの放射公式からの導出

黒体放射のプランクの放射公式（英語: Planck's law of black body radiation）は、振動数 ν の関数として、

$\rho(\nu) = {8\pi \nu^2\over c^3}{h \nu\over e^{h \nu/kT}-1}$

c：光速度，h：プランク定数，k：ボルツマン定数

空洞内のエネルギー密度は、全振動数について積分することにより求められるから、

$\rho = \int_{0}^{\infty} \rho(\nu) d\nu = \int_{0}^{\infty} {8\pi \nu^2\over c^3}{h \nu\over e^{h \nu/kT}-1} d\nu = {8\pi h\over c^3} \int_{0}^{\infty} {\nu^3\over e^{h \nu/kT}-1} d\nu$

ここで、 $x = {h \over kT} \nu$ とおくと、

${8\pi h\over c^3} \int_{0}^{\infty} {1\over e^x-1} {k^3 T^3 \over h^3} x^3 {kT\over h} dx = {8\pi k^4 T^4\over c^3 h^3} \int_{0}^{\infty} {x^3\over e^x-1} dx$

ここで $\int_{0}^{\infty} {x^3\over e^x-1} dx = {\pi^4 \over 15}$ であるから、 $\rho = {8\pi^5 k^4 \over 15 c^3 h^3} T^4$ となる。

エネルギー密度と放射強度の関係式 $I = {c \over 4} \rho$ に代入し、

$I = {c \over 4} \rho = {c \over 4} {8\pi^5 k^4 \over 15 c^3 h^3} T^4 = {2\pi^5 k^4 \over 15 c^2 h^3} T^4$

π, k, c, h は、全て定数であるので、 ${2\pi^5 k^4 \over 15 c^2 h^3} = \sigma$ とおくと、 $I = \sigma T^4$ を得る。

σ の値は次の通りである。

$\sigma = {2\pi^5 k^4 \over 15 c^2 h^3} \simeq {2 \times (3.1415)^5 \times (1.3807 \times 10^{-23} \, [{\rm J{\cdot}K^{-1}}])^4 \over 15 \times ( 2.9979 \times 10^8 \, [{\rm m{\cdot}s^{-1}}])^2 \times (6.6261 \times 10^{-34} \, [{\rm J{\cdot}s}])^3} \simeq 5.67 \times 10^{-8} \, [\mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-4}]$

[編集] 応用例

[編集] 太陽の表面温度の導出

この法則を用いて、太陽の表面温度を導くことができる。

太陽の表面温度を T 、太陽の半径を r とすると、太陽の表面積は $4 \pi r^2$ なので、太陽が1秒間に放出する電磁波の全エネルギー $E_1$ は、シュテファン＝ボルツマンの法則より、

$E_1 = \sigma T^4 \times 4\pi r^2$

と計算できる。

地球と太陽の距離を R とすると、太陽から放出された電磁波は地球に届くまでに、電磁波が表面積 $4 \pi R^2$ の球状の範囲にまで広がっている。電磁波が全方向へ均等に広がると仮定すると、 $E_1$ を表面積 $4 \pi R^2$ で割ることにより、地球付近での単位面積当たりのエネルギー $E_2$ が導ける。