ケーラー多様体

数学、特に微分幾何学では、ケーラー多様体(Kähler manifold) とは、複素構造、リーマン構造、シンプレクティック構造という３つが互いに整合性を持つ多様体である．

ケーラー多様体は代数幾何学の分野へ重要な応用を持ち、小平埋め込み定理を使うと複素射影代数多様体がケーラー多様体の一般化となる． ケーラー多様体の名前はエーリッヒ・ケーラー(Erich Kähler)にちなんでいる．

定義

ケーラー多様体では複数の構造が自然に整合性を持つので、ケーラー形式には複数の定義方法がある．

シンプレクティック構造の観点

ケーラー多様体は、可積分な概複素構造を持つシンプレクティック多様体 $(K,\omega )$ である．可積分な概複素構造は、シンプレクティック形式と整合を持つ三つ組を持っている．

複素構造の観点

ケーラー多様体は、付随するエルミート形式が閉形式となるエルミート多様体である．

定義の同値性

エルミート多様体 $K$ は、自然なエルミート形式 $h$ と可積分な概複素構造 $J$ を兼ね備えた複素多様体である．$h$ が閉であることを仮定すると、標準的シンプレクティック形式を $\omega ={\frac {i}{2}}(h-{\bar {h}})$ と定義でき $J$ と整合性を持っているので、第一の定義を満たす．

一方、概複素構造と整合性をもつ任意のシンプレクティック形式は、 $(1,1)$ タイプの複素微分形式であるはずであり、座標 $(U,z_{i})$ を使い書き表すと、 $h_{jk}\in C^{\infty }(U,\mathbb {C} )$ に対し、

$\omega ={\frac {i}{2}}\sum _{j,k}h_{jk}dz_{j}\wedge d{\bar {z_{k}}}$

となる．$\omega$ が実数に値を持つ閉じた非退化であることを加えると、$h_{jk}$ が $K$ の各々の点でエルミート形式を定義することが保証される．

エルミート形式とシンプレクティック形式の関係

$h$ をエルミート形式、$\omega$ をシンプレクティック形式、$J$ を概複素形式とすると、$\omega$ と $J$ は整合性を持っているので、新たな形式 $g(u,v)=\omega (u,Jv)$ はリーマン形式となる． これらの構造は、等式 $h=g+i\omega$ により関連付けられていると結論できる．

ケーラーポテンシャル

によると、$K$ を複素多様体とすると、すべての多重劣調和函数 $\rho \in C^{\infty }(M;\mathbb {R} )$ はケーラー形式を次の形に変えることになる．

$\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho$

ここに $\partial ,{\bar {\partial }}$ はドルボー作用素である．函数 $\rho$ は ケーラーポテンシャル と呼ばれる．

実際、ポアンカレの補題を使い、逆が局所的に成り立つ．さらに、$(K,\omega )$ がケーラー多様体であれば、任意の点 $p\in K$ に対して $p$ の近傍 $U$ と函数 $\rho \in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ が存在し、$\omega =i\partial {\bar {\partial }}\rho$ となる．ここに $\rho$ は （局所）ケーラーポテンシャル と呼ばれる．

ケーラー多様体とリッチテンソル

ケーラー多様体 X 上では、リッチテンソルは標準ラインバンドル(canonical line bundle)の曲率形式を決定する(Moroianu 2007, Chapter 12)．標準ラインバンドルは正則ケーラー微分形式のバンドルの外積のべき

$\kappa =\wedge ^{n}\Omega _{X}.$

である．X 上の計量に対応するレビ・チビタ接続は、κ の上の接続を引き起こし、この接続の曲率は次によって定義される2-形式である．

$\rho (X,Y)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\operatorname {Ric} (JX,Y)$

ここに J はケーラー多様体の構造により決定される接バンドル上の複素構造である．リッチ形式は閉じた2-けいしきで、そのコホモロジー類は、実数の定数要素を除き、標準バンドルの第一チャーン類でり、従って、（X がコンパクトであれば、）X のトポロジーと複素構造のホモトピー類にのみ依存しているという意味で、トポロジカル不変量である．

逆に、リッチ形式はリッチテンソルと次の式により決定する．

$\operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).$

局所正則な座標 z^α を使うと、リッチ形式は、

$\rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det(g_{\alpha {\overline {\beta }}})$

で与えられる．ここに $\partial$ はドルボー作用素で

$g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).$

である．

リッチテンソルがゼロとなると、標準バンドルは平坦であるので、構造群は特殊線形群 SL(n,C) の部分群へ局所的に縮約することができる．しかしながらケーラー多様体は既に U(n) の中にホロノミーを持っているので、リッチ平坦なケーラー多様体の（制限された）ホロノミーは SU(n) の中に含まれる．逆に、2n-次元のリーマン多様体の（制限された）ホロノミーが SU(n) を含むと、多様体はリッチ平坦なケーラー多様体となる(Kobayashi & Nomizu 1996, IX, §4)．

ケーラー多様体上のラプラス作用素

$\star$ をホッジ作用素とすると、微分可能多様体 X 上でラプラス作用素を次のように定義することができる． $\Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d$ ここに $d$ は外微分形式、$d^{*}=-(-1)^{nk}\star d\star$ とする．さらに X がケーラーであれば、$d$ と $d^{*}$ は次のように分解される．

$d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*}$

そして、別のラプラス作用素が定義できる．

$\Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial$

は、次の満たす．

$\Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }$

これらの事実より、次のホッジ分解が得られる．（ホッジ理論を参照）

$\mathbf {H^{r}} =\oplus _{p+q=r}\mathbf {H} ^{p,q}$

ここに $\mathbf {H^{r}}$ は r-次調和形式 であり、$\mathbf {H} ^{p,q}$ はX 上の{p,q}-次調和形式とする．すなわち、微分形式 $\alpha$ が調和形式であることと、各々の $\alpha ^{i,j}$ が{i,j}-次の調和形式に属することとは同値である．

さらに、X がコンパクトであれば、

$H^{p}(X,\Omega ^{q})\simeq H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)\simeq \mathbf {H} ^{p,q}$

を得る．ここに $H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ は ${\bar {\partial }}$-調和コホモロジー群とする．このことは、$\alpha$ が{p,q}-次の微分形式であれば、ドルボーの定理により、ただ一つの{p,q}-次調和形式が決定する．

$h^{p,q}={\text{dim}}H^{p,q}$ をホッジ数と呼ぶとすると、

$b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{q,p},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{n-p,n-q}.$

が得られる．最初の左辺 b_r はr-番目のベッチ数であり、第二の等号はラプラス作用素 $\Delta _{d}$ が実作用素 $H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}$ であることから来て、最後の等号はセール双対性から結果する．

応用

ケーラー多様体は、リッチテンソルが計量テンソルに比例する、つまりある定数 λ に対し $R=\lambda g$ である場合に、ケーラー形式と計量を ケーラー・アインシュタイン （あるいはときにはアインシュタイン・ケーラー）と呼ぶ．この命名はアインシュタインの宇宙定数について考えたことにちなむ．さらに詳しくはアインシュタイン多様体の項目を参照のこと．

元来、ケーラー条件とアインシュタイン条件は独立した条件である．アインシュタイン条件とは、リッチテンソルがある実定数でリーマン計量テンソルと比例関係にあることをいう．重要な点は、X がケーラーであれば、クリストフェル記号 $\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }$ がゼロとなり、リッチテンソルが非常に簡素化される．従って、ケーラー条件はリッチテンソルと深く関係する．事実、オーバン(Thierry Aubin)とヤウ(Shing-Tung Yau)は、チャーン類が c₁=0 であるコンパクトなケーラー多様体は唯一のリッチ平坦な計量が各々のケーラー類にあることを使いカラビ予想を証明した．しかし、ケーラー多様体が非コンパクトの場合は、さらに状況が複雑になり、いくつかの研究はあるものの最終的な結果はえられていない．

例

1. 標準的エルミート計量を持つ複素ユークリッド空間 Cⁿ はケーラー多様体である．
2. トーラス Cⁿ/Λ (Λ は格子全体とする）は Cⁿ のユークリッド計量を引き継ぐので、コンパクトなケーター多様体である．
3. リーマン面上のすべてのリーマン計量は、形式 ω が閉であるという条件が実2-次元では自明であるので、ケーラーである．
4. 複素射影空間 CPⁿ は等質な(homogeneous)なケーラー計量を持り、フビニ・スタディ計量(Fubini–Study metric)と呼ばれる．（ベクトル空間）C^n + 1 のエルミート形式は、GL(n + 1,C) のユニタリな部分群 U(n + 1) であり、フビニ・スタディ計量はそのような U(n + 1) 作用の不変性によりホモセティ（スケーリングを渡る）を同一視して、決定される．基本的な線形代数により任意の2つのフビニ・スタディ計量は CPⁿ の射影的な自己同型の下にイソメトリック(isometric)であるので、すべてを総称して「フビニ・スタディ計量」という．
5. ケーラー多様体の複素部分多様体上に引き起こされた計量はケーラーである．特に、任意のシュタイン多様体(Stein manifold)（Cⁿ へ埋め込まれた）もしくは射影的代数多様体（CPⁿ へ埋め込まれた）はケーラータイプである．このことは解析的理論でも基本的である．
6. 単位複素球(ball) Bⁿ はケーラー計量を持ち、定数である正則切断曲率を持つベルグマン計量(Bergman metric)と呼ばれる．
7. すべてのK3局面はケーラーである．（Y.-T. Siuの定理）

ケーラー多様体の部分クラスとして重要なクラスにカラビ・ヤウ多様体がある．

References

• Deligne, P.; Griffiths, Ph.; Morgan, J.; Sullivan, D., (1975), “Real homotopy theory of Kähler manifolds”, Invent. Math. 29: 245–274, doi:10.1007/BF01389853 
• Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
• Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.
• Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2004), http://www.math.polytechnique.fr/~moroianu/tex/kg.pdf
• André Weil, Introduction à l'étude des variétés kählériennes (1958)