数学基礎論

数学基礎論（すうがくきそろん、英：Foundations of mathematics）は、数学の哲学的・論理学的・アルゴリズム的な基礎に関する研究分野である。あるいは、広義には、数学の本性に関する哲学的理論の根底にあるものの数学的な探求であり、狭義には、数理論理学と同義で用いられることがある。他の数学の分野が整数・実数・図形・関数などを取り扱うのに対し、数学自体を対象とすることがある。

歴史

数学は、発展するに従って自分自身をも厳格に定義する方向へと進み、多くの数学者・論理学者がその夢に心血を注いだ。数学を論理学の上に基礎づける論理主義はフレーゲの独創的な仕事に始まる。

まず、その道具として集合が考えられた。集合にもとづいた数学の再整理は大きな成果を生み、こんにちの数学において集合は欠くべからざる道具となっている。しかし、無限集合の扱いなどの難しさなどが数学基礎論の議論の過程であきらかになっていった。そしてバートランド・ラッセルは、素朴な集合の取り扱いは「自分自身を要素に含むような集合」というような病的な場合を排除できないが、そういうものは扱いきれない、ということを、ラッセルのパラドックスで指摘した。

ラッセルは『数学原理』によってフレーゲの論理主義の問題点を解決するが、そこに用いられた公理はもはや論理的に自明とはいえず、本来の目的であった論理学に基づく数学の基礎づけに成功したとはいえない。

ブラウワーは「直観主義」を唱えた。その結果は、排中律の使用を制限した直観主義論理という非古典論理として、論理学の世界を大きく広げた。

ダフィット・ヒルベルトはそれと異なり、「有限の立場」と、「公理と推論法則」によるゲームのようなもの、として数学を再構成する「形式主義」による「ヒルベルト・プログラム」を提唱した。ヒルベルト・プログラムは、ゲーデルの不完全性定理によって「自然数論を含む帰納的公理化可能で無矛盾な理論系を構築する」という方法で進めることは不可能だと示されたため、どのような理論であれば無矛盾であるか、というような研究が大いに進むことになった。

その後、数論を展開するのに十分な体系に見えるペアノの公理系では証明できないグッドスタインの定理など、特定の公理系では証明も反証もできない問題が数多く見いだされた。

いずれにしても、以上のような数学基礎論の発展自身によって、ブラウワーの時代の「数学の危機」といったような危惧・そのため数学に「基礎付け」が必要だ、という意識自体が歴史的なものとなった（1932年のノイマンの著書『量子力学の数学的基礎』のように、「基礎付け」という発想自体にある種の学術的ブームが当時あった）。こんにちでは、数理論理学、圏論、集合論、モデル理論、証明論、計算理論といった、数学の共有的な基盤という意味では基礎とも言えるが、数学の数学・メタ数学のような分野を総称して指す語となっている。

影響

数学を人間の精神活動から離れて、形式主義的にかつ有限の立場から検証しなおすことにより、計算機科学の基礎と発展に大きく寄与した。たとえば、今まで自明なものとして受け入れられていた多くの数論的関数を有限の立場から考察することにより、アルゴリズムの研究に直接の影響を与えた。プログラミング言語で必ず登場するデータ型の形式的宣言や論理構造、関数の概念は遠くは数学基礎論に由来する。数学基礎論で活躍したフォン・ノイマンやチューリングが後に計算機科学において先駆的な役割を果たした。そのような意味で数学基礎論は単なる机上の空論ではなく、むしろコンピュータをインフラの一つとする現代社会の形成に多大な影響を与えた。

関連項目

• 数理論理学
• 公理的集合論
• 幾何学基礎論
• 数学の哲学