漸近展開

漸近展開（ぜんきんてんかい、英: Asymptotic expansion）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析や特殊関数に対する数値解析など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある。

漸近級数

関数 $\scriptstyle f(x)\!$ を定義域が実数の領域で定義された関数とし、$x_{0}$ を $\scriptstyle f(x)\!$ の定義域内の点とする。

関数列 $\scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}$ が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。

• $\varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ (x\to x_{0})\ \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ldots )$

実数列 $\scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}$ が存在して、任意の正整数 n に対し

$f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ \ \ (x\to x_{0})$

が成立するとき、

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)$

を $\scriptstyle f(x)\!$ の漸近級数といい、

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)$

と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という。

• 任意の正整数 n、$\scriptstyle f(x)\!$ の定義域内の x に対して

$\left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)\right|<|a_{n+1}\varphi _{n+1}(x)|$

が成立する。

漸近関数列が $\scriptstyle \{(x-x_{0})^{n}\}_{n\geq 0}$ $\scriptstyle (|x_{0}|<\infty )$ または $\scriptstyle \{x^{-n}\}_{n\geq 0}$ $\scriptstyle (|x_{0}|=\infty )$ の形の漸近級数を、漸近冪級数という。

与えられた漸近関数列を用いて、$\scriptstyle f(x)\!$ の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 $\scriptstyle f(x)\!$ の漸近級数 $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)$ が存在する場合、 $\scriptstyle f(x)\!$ は漸近展開

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)$

を持つという。

性質

一意性

任意の関数 $\scriptstyle f(x)\!$ に対して、$\scriptstyle f(x)\!$ に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば

• $1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )$
• $1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )$

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。

さらに、漸近級数の各係数は

$a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)$

で与えられる。

和と積

点 $x_{0}$ の近傍で定義された関数 $\scriptstyle f(x),\ g(x)$ は、漸近関数列 $\scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}$ に対する漸近展開

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$

を持つとする。このとき、任意の α、β に対して

$\alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$

が成立する。

さらに、漸近関数列が $\scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}$ $\scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))$ である場合、

$f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})$

が成立する。

項別微分

一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。 項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。

漸近関数列 $\scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}$ は各 n に対して、$x_{0}$ の近傍で微分可能であり、関数列 $\scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}$ が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。

$\scriptstyle f(x)\!$ は、$x_{0}$ の近傍で微分可能であり、

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$

となる漸近展開を持ち、$\scriptstyle f'(x)\!$ が漸近関数列 $\scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}$ を用いて漸近展開することができるのであれば

$f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$

が成立する。

項別積分

$\scriptstyle |x_{0}|<\infty$ とし、$\scriptstyle f(x)\!$ の漸近展開を

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$

とする。定積分

$\Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt$

が各 n に対して存在するならば、

$F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt$

が存在して、

$F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$

が成立する。

$\scriptstyle x_{0}=\infty$ のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。 例えば、漸近級数が漸近冪級数

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )$

を持つ場合、

$\int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )$

とする必要がある。

例

スターリングの公式の一般化

ガンマ関数は

$\Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )$

という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている。

合流型超幾何関数

合流型超幾何関数 (en:confluent hypergeometric function):

$_{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C}$

は次の漸近展開を持つ。

$_{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .$

$\arg$は複素数の偏角であり、$(\alpha )_{k}$はポッホハマー記号である。

誤差関数

誤差関数

$\operatorname {erfc} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$

は、以下の様な漸近展開を持つ。

$\operatorname {erfc} (x)\sim {\frac {e^{-x^{2}}}{{\sqrt {\pi }}x}}\left(\ 1-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{2^{2}x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2^{3}x^{6}}}+\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )$

指数積分

指数積分

$\operatorname {Ei} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{x-t}}{t}}dt$

の漸近展開は、

$\operatorname {Ei} (x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )$

で与えられる。

ラプラス変換

$\scriptstyle f(x)\!$ を何回でも微分可能な関数としたとき、$\scriptstyle f(x)\!$ のラプラス変換

$F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-xt}dt$

の漸近展開は、

$F(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {1}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )$

で与えられる。

微分方程式の解

微分方程式

$x^{2}y''+(3x+1)y'+y=0\!$

の解は

$y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt$

で与えられ、

$y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)$ 。

という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の $\scriptstyle x\neq 0$ で収束しないが、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。

求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

調和級数

調和級数は

$H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,$

という漸近展開を持つ。ここで、$\gamma$はオイラー・マスケローニ定数、$B_{k}$はベルヌーイ数である。

参考文献

和書

• 大久保, 謙二郎、河野, 實彦『漸近展開』教育出版、東京〈シリーズ新しい応用の数学〉、1976年。ISBN 4316376306。 
• ハイラー, E.、ワナー, G. 著、蟹江幸博 訳『解析教程』 上、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997a。ISBN 4431707506。 
• ハイラー, E.、ワナー, G. 著、蟹江幸博 訳『解析教程』 下、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997b。ISBN 4431707514。 
• 柴田, 正和『漸近級数と特異摂動法: 微分方程式の体系的近似解法』森北出版、東京、2009年。ISBN 9784627076310。 
• 伏見康治「確率論及統計論」第I章　数学的補助手段 3節 漸近展開 ISBN 9784874720127 https://web.archive.org/web/20160327114852/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204

洋書

• Bleistein, N., & Handelsman, R. A. (1986). Asymptotic expansions of integrals. Courier Corporation.
• Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. en:Springer Science & Business Media.
• Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
• Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique . en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
• Erdélyi, A. (1956). Asymptotic expansions. Courier Corporation.
• Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.
• Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London: en:Academic Press.

関連項目

• 級数
• テイラー展開
• 微分方程式
• メリン変換