分散関係

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分散関係(ぶんさんかんけい、: dispersion relation[1])は、において、角周波数(角振動数)と波数の間の関係。特に角周波数 ω を波数 k関数で表したのことを言う。

概要[編集]

フーリエ変換により、波動は特定の波数 k のみを持つ、単色波 ei(kxωt) の集まりに分解することができる。このとき、波数 k と角周波数 ω が、の性質に応じて満たす関係

 \omega =\omega(k) \,

を、分散関係 (dispersion relation)、または分散式 (dispersion formula) という。波数と角周波数の対応関係が複数存在する場合もあり、それぞれの関係を波のモードと呼ぶことがある。

特に、波数と角周波数が比例関係

\omega =vk \,

で表されるときに、分散がないという。また、波数と角周波数が比例関係にない場合、系は分散的もしくは分散系であるという。分散がない波においては、

e^{i(kx-\omega t)}=e^{ik(x- vt)} \,

となり、各単色波の成分は波数に依らず、一定速度 v で進むため、波形が崩れず、そのまま伝播する。

分散関係が与えられると、波動の性質を示すいくつかの重要な指標を導くことができる。波の位相部分が一定 kxωt = φo で伝わる速度 vp は、これを時間で微分して、

 v_\mathrm{p} = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k}

で与えられる。これを位相速度という。また、一方で様々な波数を持つ波の集まりである波束において、その群速度は、

 v_\mathrm{g} = \frac{d \omega(k)}{dk}

で与えられる。

分散がない場合には、

v_\mathrm{p} = v, \quad v_\mathrm{g} = v \,

であるから、「分散がない」という条件は「位相速度と群速度が一致する」ことと等価である。

通常の波動方程式

\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

に従う波動現象においては、ei(kxωt) を考えると、

\omega =c k \,

の関係が満たされており、分散がない波となる。

光学における分散[編集]

自然光などの白色光プリズムに通すと、透過した光は虹のように各色ごとに分光される。この現象は光学においては分散と呼ばれる。これは、白色光が角振動数の異なる電磁場から構成されており、媒質となるプリズム中においてそれぞれの屈折率 n が角振動数 ω によって異なることに起因する。このとき、媒質中を伝播する電磁波の位相速度は、角振動数に依存する屈折率 n(ω)真空中の光速 c を用いて、

 c(\omega)= \frac{c}{n(\omega)} \,

と表される。このとき、対応する分散関係は

 \omega= c(\omega)k  \,

となる。分散関係という語は、光学におけるこの分散現象に由来する。

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水面波[編集]

深さが h である水の層において、重力表面張力を考慮した水面波の分散関係は以下を満たす[2]

\omega=|k| \sqrt{ \biggl ( \frac{g}{k}+ \frac{\sigma k}{\rho} \biggr) \tanh{kh} }

ここで、g重力加速度σ は表面張力の強さ、ρ水の密度である。

フォノン[編集]

固体におけるフォノンのモデルとして、2 種類の原子から構成される一次元の格子の振動を考える。このとき、この格子系の周期2a とし、2つの原子の質量を m1, m2、結合の定数を f とすると、分散関係は


\omega^2= \frac{f}{m_\mu} \left ( 1 \pm  \sqrt{1-\frac{4m_\mu^{\, 2}}{m_1m_2} \sin^2{ka} } \right ),
\quad  \frac{1}{m_\mu}=\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}

となる[3][4]。符号が の場合が音響モードに対応し、+ の場合が光学モードに相当する。特に |q| → 0 としたときの長波長極限において、音響モードでは、

 \omega = \sqrt{ \frac{2f}{m_1+m_2}} a|k|

光学モードでは

 \omega = \sqrt{ \frac{2f}{m_\mu}} = \sqrt{ \frac{2(m_1+m_2)f}{m_1m_2} }

となる。

相対論的な電子[編集]

相対論場の量子論において、電子ディラック方程式で記述される。このとき、電子は以下の分散関係を満たす[5]

 \omega= \sqrt{(ck)^2+\biggl ( \frac{mc^2}{\hbar} \biggr)^2}

ここで、m は電子質量、c光速である。

脚注[編集]

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参考文献[編集]

  • 文部省日本物理学会編 『学術用語集 物理学編』 培風館1990年ISBN 4-563-02195-4
  • 巽, 友正 『流体力学』 培風館〈新物理学シリーズ 21〉、1995年ISBN 978-4563024215
  • Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Solid State Physics. Thomson Learning. 
    • アシュクロフト, N. W.、マーミン, N. D. 『固体物理の基礎 (下・1) 固体フォノンの諸問題』 松原, 武生(訳)、町田, 一成(訳)、吉岡書店〈物理学叢書 48〉、1982年ISBN 978-4842702025
  • 西島, 和彦 『相対論的量子力学』 培風館〈新物理学シリーズ 13〉、1973年ISBN 978-4563024130

関連項目[編集]