ディラック・スピノル

自由粒子のディラック方程式の解は、以下の平面波の形式を持つ:

$\psi = \omega e^{-i p \cdot x} \,$

ここで、$\omega \,$ は4成分スピノル (ディラック・スピノル) であり、$x \,$ を変数とする関数ではない。

このスピノルは以下のように書き下せる:

$\omega = \begin{bmatrix} \phi \\ \frac{\mathbf{\sigma \cdot p}}{E + m} \phi \end{bmatrix} \,$

ここで、

$\phi \,$ は2成分スピノル
$\mathbf{\sigma} \,$ はパウリ行列 $( \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \,)$
$E , m, \mathbf{p}$ はそれぞれエネルギー、質量、粒子の四元運動量(four-momentum)

を示す。

ディラック方程式からの展開

ディラック方程式は以下の形式を取る。

$\left(-i \mathbf{\alpha} \cdot \nabla + \beta m \right) \psi = i \frac{\partial \psi}{\partial t} \,$

四成分スピノル $\omega \,$ の形式を導出するために、まずは行列 $\mathbf{\alpha}$ 及び $\beta \,$ の値を示す必要がある:

$\alpha = \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{\sigma} \\ \mathbf{\sigma} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \quad \quad \beta = \begin{bmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{I} \end{bmatrix} \,$

これら2種類の 4 × 4 行列は、ディラック基底のガンマ行列(Gamma matrices)と関係する。ここで、$\mathbf{0}$ と $\mathbf{I}$ は 2 × 2 行列を示す。

次のステップは、この形式に対する解の計算である。

$\psi = \omega e^{-i p \cdot x}$,

同時に、$\omega \,$を2つの2成分スピノルに分割する:

$\omega = \begin{bmatrix} \phi \\ \chi \end{bmatrix} \,$.

解

上記の関係全てをディラック方程式に代入すると、以下のようになる:

$E \begin{bmatrix} \phi \\ \chi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m \mathbf{I} & \mathbf{\sigma \cdot p} \\ \mathbf{\sigma \cdot p} & -m \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi \\ \chi \end{bmatrix} \,$.

この行列方程式は、実は2つの対となる方程式である:

• $\left(E - m \right) \phi = \left(\mathbf{\sigma \cdot p} \right) \chi \,$
• $\left(E + m \right) \chi = \left(\mathbf{\sigma \cdot p} \right) \phi \,$

2つ目の方程式を $\chi \,$ について解くと、以下のように書ける:

$\omega = \begin{bmatrix} \phi \\ \chi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \phi \\ \frac{\mathbf{\sigma \cdot p}}{E + m} \phi \end{bmatrix} \,$

1つめの方程式を $\phi \,$ について解くと、次式が求まる:

$\omega = \begin{bmatrix} \phi \\ \chi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \frac{\mathbf{\sigma \cdot p}}{-E + m} \chi \\ \chi \end{bmatrix} \,$

この解は、反粒子と粒子との関係を見るのに都合がよい。

詳細

2成分スピノル

2成分スピノルのもっとも便利な定義は次の通りである。

$\phi^1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \quad \phi^2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \,$

及び

$\chi^1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \chi^2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \,$

パウリ行列

パウリ行列は以下のものである。

$\sigma_1 = \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \quad \quad \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{bmatrix} \quad \quad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}$

粒子のエネルギー及び静止質量を初めに分けているので、上記を用いて運動量の項について次のように計算できる。

$\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} = \sigma_1 p_1 + \sigma_2 p_2 + \sigma_3 p_3 = \begin{bmatrix} p_3 & p_1 - i p_2 \\ p_1 + i p_2 & - p_3 \end{bmatrix}$

粒子の4成分スピノル

粒子は「正」のエネルギーを持つ物として定義される。4成分スピノル $\omega \,$ は、 $\omega^\dagger \omega = 2 E \,$ となるように正規化される。これらのスピノルは、$u \,$ と表記される。

$u(\mathbf{p}, s) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix} \phi^{(s)}\\ \frac{\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{E+m} \phi^{(s)} \end{bmatrix} \,$

ここで $s = 1 \,$ または $2 \,$ (「上」と「下」のスピン)

明らかに、次の様になる:

$u(\mathbf{p}, 1) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \frac{p_3}{E+m} \\ \frac{p_1 + i p_2}{E+m} \end{bmatrix} \quad \mathrm{and} \quad u(\mathbf{p}, 2) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \frac{p_1 - i p_2}{E+m} \\ \frac{-p_3}{E+m} \end{bmatrix}$

反粒子の4成分スピノル

「正」のエネルギー $E \,$ を持つ反粒子は、「負」のエネルギーを持ち、時間を遡る向きに伝わる、粒子として定義される。

そこから、粒子の4成分スピノルにおいて、$E \,$ と $\mathbf{p} \,$ の符号を変えることによって、反粒子の4成分スピノルが得られる:

$v(\mathbf{p},s) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix} \frac{\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{E+m} \chi^{(s)}\\ \chi^{(s)} \end{bmatrix} \,$

ここで、$\chi \,$ による解を選ぶと、次の式は自明に導かれる:

$v(\mathbf{p}, 1) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix} \frac{p_1 - i p_2}{E+m} \\ \frac{-p_3}{E+m} \\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \,$ 　及び　 $\, \quad \quad v(\mathbf{p}, 2) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix} \frac{p_3}{E+m} \\ \frac{p_1 + i p_2}{E+m} \\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix}$

完備性の関係式

4成分スピノル $u \,$ 及び $v \,$ に対する完備性の関係式は次の通りである:

$\sum_{s=1,2}{u^{(s)}_p \bar{u}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ + m \,$
$\sum_{s=1,2}{v^{(s)}_p \bar{v}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ - m \,$

ここで、

$p\!\!\!/ = \gamma^\mu p_\mu \,$      (ファインマンのスラッシュ記法(Feynman slash notation)を参照のこと)
$\bar{u} = u^{\dagger} \gamma^0 \,$

ディラック・スピノルとディラック代数

ディラック表記のガンマ行列は4×4行列の組で、スピンや電荷、演算子として用いられる。

取り決め

計量表示と群表現については、物理学の文献においても、慣用されるいくつかの取り方がある。ディラック表記のガンマ行列は、普通、$\mu \,$ を0から3の値として、$\gamma^{\mu} \,$と書かれる。この表記において、0は時間に、1から3は空間のx、y、zに相当する。

(+ - - -) の計量表示は時々西海岸計量と呼ばれる。一方 (- + + +) は東海岸計量と呼ばれる。今日では、(+ - - -) の計量表示が一般的であり、以下で例を示す際もこちらを用いる。計量表示を切り替える場合は、全ての $\gamma^{\mu} \,$ に $i \,$ を乗じる。

計量表示を定めても、4×4行列による群表現を構築する方法は沢山あり、多くの方法が広く使われている。ここでの例を極力一般化した形で見せるために、最後の段階まで群表現を固定せずに、話を進める。最後に、著名な大学院向け教科書で行われているように、「カイラル(chiral)表現」もしくは「ワイル(Weyl)表現」と呼ばれる群表現を代入する。

構築

まず電子と陽電子についてのスピンの向きを選択する。上で議論したパウリ代数の例と同様、スピンの向きを3次元単位ベクトル $(a, b, c) \,$ で定義する。ペスキンとシュレーダーの教科書での取り決めと同様に、方向 $(a, b, c) \,$ のスピンに対応するスピン演算子は、$(a, b, c) \,$ と $(i\gamma^2\gamma^3,\;\;i\gamma^3\gamma^1,\;\;i\gamma^1\gamma^2) =-(\gamma^1,\;\gamma^2,\;\gamma^3)i\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ との内積として定義する:

$\sigma_{(a, b, c)} = ia\gamma^2\gamma^3 + ib\gamma^3\gamma^1 + ic\gamma^1\gamma^2 \,$

注目すべきは、上のが1の累乗根で有ることで、すなわち、二乗すると1になる。 続けて、この演算子から、ディラック代数の、$(a, b, c) \,$ の方向に合わせたスピンを持つ部分代数を、映し出す射影演算子(projection operator)を、導くことができる:

$P_{(a,b,c)} = \frac{1 + \sigma_{(a,b,c)}}2$

この段階で、電荷を +1 (陽電子) に取るか -1 (電子) に取るか選択する必要がある。 ペスキンとシュレーダーの教科書での取り決めに従うと、電荷の演算子は $Q = -\gamma^0 \,$ となる。即ち、電子の状態は、この演算子についての固有値 -1 を取り、一方陽電子の状態は固有値 +1 を取ることになる。

注目すべきは、$Q \,$ もまた1の累乗根となることである。 その上、$Q \,$ は $\sigma_{(a,b,c)} \,$ と交換関係がある。 これらはディラック代数に対する交換演算子の完全な組(Complete_set_of_commuting_observables)を形成する。 この例で続けて、$(a,b,c) \,$ の方向のスピンを持つ電子の表現を求める。