静電エネルギー

静電エネルギー（英語: electrostatic energy）とは、電場が持つエネルギーである。

定義

自由空間において電場 E があるとき、電場は体積あたりの密度で

$u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}$

のエネルギーを持つ。このエネルギーが静電エネルギーであり、ある領域 V 内の静電エネルギーは積分

$U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}{\boldsymbol {E}}^{2}\,d^{3}x$

で定義される。

媒質中の静電エネルギー

媒質がある場合には、電気変位 D により

$u=\int _{0}^{D}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {D}}$

で与えられる。構成方程式を用いれば、誘電分極 P により

$u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}+\int _{0}^{P}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {P}}$

となる。特に線形媒質の場合には

$u=\epsilon \int _{0}^{E}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {E}}={\frac {\epsilon }{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}$

となる。

ポテンシャル表示

場の時間変動がない場合は静電ポテンシャル φ により

${\begin{aligned}U&=-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}{\boldsymbol {E}}\cdot \operatorname {grad} \phi \,d^{3}x\\&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}\phi \,\operatorname {div} {\boldsymbol {E}}\,d^{3}x-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}\operatorname {div} (\phi {\boldsymbol {E}})\,d^{3}x\\&={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \,\phi \,d^{3}x-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\oint _{\partial V}(\phi {\boldsymbol {E}})\cdot d{\boldsymbol {S}}\\\end{aligned}}$

と表される。境界でポテンシャルがゼロとする条件を課すことで第二項を落とせば

$U={\frac {1}{2}}\int \rho \,\phi \,d^{3}x$

となる。 電位 φ_i の導体に電荷 q_i が充電されているとき

$U={\frac {1}{2}}\sum _{i}q_{i}\phi _{i}$

である。静電容量を用いれば

$U={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}C_{ij}\phi _{i}\phi _{j}$

となる。

コンデンサ

印加電圧 V で電荷 Q が充電されたコンデンサのもつ静電エネルギーは、二つの電極板で電荷が $q_{1}=Q$、$q_{2}=-Q$、電位が $\phi _{1}-\phi _{2}=V$ であることから

$U={\frac {1}{2}}(q_{1}\phi _{1}+q_{2}\phi _{2})={\frac {1}{2}}Q(\phi _{1}-\phi _{2})={\frac {1}{2}}QV$

と導かれる。静電容量を用いれば

$U={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}$

となる。

参考文献

• J.D.ジャクソン『電磁気学』 上巻、吉岡書店〈物理学叢書〉、2002年。ISBN 4-8427-0308-3。 

関連項目

• 電場強度 - 電気変位
• 静電ポテンシャル
• 静電容量 - コンデンサ