ラグランジアン (場の理論)

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ラグランジアン場の理論 (Lagrangian field theory) は、古典場理論のひとつの定式化であり、ラグランジュ力学の場の理論における類似物である。ラグランジュ力学は、それぞれが有限の自由度を持つ離散的な粒子を扱う。ラグランジアン場の理論は、自由度が無限である連続体や場に適用される。

本記事は、ラグランジアン密度を と記し、ラグランジアンは L と記すこととする.

ラグランジュ力学の定式化は、より拡張され場の理論を扱うようになった。場の理論において、独立変数は時空 (x, y, z, t) の中の事象、あるいはさらに一般的に、多様体上の点 s へと置き換わった。独立変数 (q) は時空での点での場の値 φ(x, y, z, t) へ置き換わるので、運動方程式作用原理があるおかげで得ることができ、

と書くことができる。ここに「作用」 は微分可能な独立変数 φi(s) と s 自身の汎函数

であり、s = { sα} はα = 1, 2, 3,..., n を添え字とする n 個の独立変数集合を表す。L は1つの独立変数 (t) の場合に用いられ、 は複数の独立変数(通常は x, y, z, t の4つ)の場合に用いられる。

定義[編集]

場の理論でのラグランジアンは、一般座標系の函数として扱われ、系の場の函数とその微分、可能な空間と時間座標からなるラグランジアン密度へと置き換わる。場の理論では、独立変数 t は、時空 (x, y, z, t) の中での事象や、より一般的に多様体上の点 s へ置き換わる。

ラグランジアン密度は、簡単にラグランジアンということもある。

スカラー場[編集]

あるスカラー場 φ に対し、ラグランジアン密度は次の形を取る[nb 1][1]

複数のスカラー場に対しては、

と表される。

ベクトル場、テンソル場、スピノル場[編集]

上記は、ベクトル場テンソル場スピノル場に対して一般化することができる。物理学において、フェルミオンはスピノル場で記述され、ボゾンはテンソル場で記述される。

作用[編集]

ラグランジアンの時間での積分作用と呼び S で表す。場の理論において、時間での積分が作用

となるラグランジアン L と、作用

をとるようなすべての時空を渡る積分であるラグランジアン密度 との間には、差異があることがある。

ラグランジアン密度の空間的な体積積分英語版は、3次元でのラグランジアン

である。量子電磁力学のような素粒子物理での場の量子論は、通常、 で表され、ラグランジアンのこの形はファインマン図形の中で使われる規則へと直ちに変換される。

注意すべきは、重力が存在したり一般に曲がった座標を使うときには、ラグランジアン密度 g やそれと等価なものを含むこととなり、ラグラン ジアン密度の積分が不変量となるようなスカラー密度英語版であることを確認することができる。

数学的定式化[編集]

n-次元多様体M とし、対象多様体を T とし、M から T への滑らかな函数の構成空間とする。

場の理論において、M は時空多様体であり、対象空間は任意の点で場が取ることのできる値の集合である。例えば、m 個の実数値のスカラー場 ϕ1, ..., ϕm があるとすると、対象多様体は、 である。場が実ベクトル場であれば、対象多様体は 同相となる。実際は、M 上の接バンドルを使うもっとエレガントな方法があるが、ここではこの方法を使うことにする。

汎函数

,

作用と呼ぶ。物理的考察より、作用は (すべての実数の集合)への写像であり、 (すべての複素数の集合)への写像ではないことが分る。

作用を局所的とするため、作用に条件を加える必要がある。 に対して、 は函数 M 上での積分であることとし、ラグランジアン をその微分と位置とする。言い替えると、

加えて、以下では、ラグランジアンは場の値と一階の微分にのみ依存し、高次の微分には依存しないことを前提とする。

境界条件が与えられると、Mコンパクトであるか、もしくは、x → ∞ としたときの のある極限(この考え方は部分積分をするときに助けになる)であれば、基本的に境界での の値を特定することができる。この 相対位相は、 での S の汎函数微分が 0 となり、 が与えられた境界条件を満すような函数 の属する空間が、オンシェルの解の部分空間である。

解は(境界条件のおかげで)オイラー=ラグランジュ方程式により与えられる。

この式の左辺は についての作用の汎函数微分である。

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上記のテスト粒子を本セクションでは、粒子が運動する場合の方程式を扱い、これらの場の計算を行うことが可能となる。本セクションの方程式は場の中のテスト粒子の運動方程式を与えはしないが、代わりに、任意の点 での質量密度や電荷密度といった量により導き出されるポテンシャル(の場)を得ることができる。例えば、ニュートン重力の場合は、時空上で積分されたラグランジアン密度は、解くことが可能であれば であるような方程式を与える。この は、方程式 (1) へ代入仕直したときのニュートン重力場の中のテスト粒子のラグランジェ方程式であるが、粒子の加速度を計算することに必要な情報をもたらす。

ニュートン重力[編集]

ラグランジアン(密度)は、(単位系、なお、以下ではこのような使い方をする) J·m−3 では である。相互作用項 は kg·m−3 での連続質量密度 ρ を含む項に置き換わる。このことは、場において点を資源として使うことは数学的な困難をきたす結果となるので、必要である。その結果の古典重力場のラグランジアンは

である。ここに m3·kg−1·s−2 の中の G重力定数である。Φ についての積分の変分は、

をもたらす。全積分をせずに部分積分し、δΦ で割ると

を得て、従って、

となり、これはガウスの重力法則英語版である。

アインシュタイン重力[編集]

物質場の存在する一般相対論のラグランジアン密度は、

である。スカラー曲率であり、計量テンソルで縮退されたリッチテンソルであり、リッチテンソルはクロネッカーのデルタで縮退されたリーマン曲率テンソルである。 の積分はアインシュタイン・ヒルベルト作用として知られている。リーマン曲率テンソルは潮汐力テンソルであり、クリストッフェル記号とクリストッフェル記号の微分から構成され、重力による場である。このオイラー=ラグランジェ方程式へラグランジアンを入れ、計量テンソル を場と考えると、アインシュタイン場の方程式

を得る。右辺の最後の項のテンソルはエネルギー・運動量テンソルであり、

である。 は、これを行列と見なすとき、計量テンソルの行列式である。宇宙定数である。一般相対論では、ラグランジアン密度の作用を積分する際の測度は である。行列の平方根はヤコビ行列式と同値であるので、これは座標独立である。マイナス符号は行列符号の結果である(行列式自体は負である)[2]

特殊相対論での電磁気学[編集]

相互作用項

は、A·s·m−3 では連続的電荷密度 ρ により、A·m−2 ではカレント密度 を意味する項により置き換える。結果とした現れる電磁場のラグランジアンは

である。ϕ について変動させると、

を得て、この式はガウスの法則である。

代わりに、 について変動させると、

を得て、この式はアンペールの法則である。

テンソル記法英語版を使うと、よりコンパクトにこれを記述することができる。項 は、実際4元ベクトルの内積である。電荷密度を 4元ベクトルのカレントと 4元ベクトルのポテンシャルで表すと、これらの 2つの新しいベクトルは、

となる。従って、相互作用項を

と書くことができる。さらに、場 E と B を電磁テンソル で表すと、このテンソルを、

と定義することができる。求めていたこの項は

であることが分り、ミンコフスキー計量を使うと 電磁テンソルでのインデックスを得る。この記法において、マクスウェルの方程式は、

となる。ここに ε はレヴィ・チヴィタテンソルである。従って、ローレンツベクトルとテンソルで記述された特殊相対論のラグランジアン密度は、

である。この記法において、古典電磁気学はローレンツ不変な理論であるようになる。等価原理により、電磁気学の記法を曲がった時空へ拡張される[3][4]

一般相対論での電磁気学[編集]

一般相対論の電磁気学のラグランジアン密度も、上のアインシュタイン・ヒルベルト作用を持っている。純然たる電磁ラグランジアンは、正確に物質ラグランジアン である。一般相対論のラグランジアンは、

である。このラグランジアンは、単純に上記の平坦なラグランジアン内のミンコフスキー計量をより一般的な(曲がった)計量 へ置き換えることにより得られる。このラグランジアンを使い、電磁場のある中でのアインシュタイン場の方程式を生成することができる。エネルギー・運動量テンソルは、

である。エネルギー・運動量テンソルはトレースがない、つまり、

であることを示すことができる。アインシュタイン場の方程式の両辺のトレースを取ると、

を得る。エネルギー・運動量テンソルのトレースが 0 であることは、電磁場のスカラー曲率が 0 となることを意味する。従って、アインシュタイン方程式は、

となる。さらに、マクスウェル法て式は、

となる。ここに 共変微分である。自由な空間に対し、カレントのテンソルは であるとすることができる。自由な空間の中に球対称に分布した質量の周りでアインシュタイン方程式とマクスウェル方程式を解くと、(自然単位系での電荷 Q を持つ)ライスナー・ノルドシュトロム解をもつブラックホールの式を得る[5]

微分形式による電磁気学[編集]

微分形式を使うと、(擬)リーマン多様体 上の真空の中の電磁作用 S は(自然単位系を使い、c = ε0 = 1 として)、

と書くことができる。ここに A は電磁ポテンシャルの 1-形式であり、J はカレントの 1-形式、F は場の強さの 2-形式であり、スターはホッジスター作用素である。この表現は、基底の中での非積分函数の長い表現である上記のラグランジアンと、座標を使わない扱いであることを除いては全く同一なラグランジアンである。微分形式は各の座標に対し微分可能に組み込まれているので、微分形式を使った表現には積分測度を加える必要は必ずしもないことに注意すると、作用の変分は、

となる。これらは電磁ポテンシャルに対するマクスウェルの方程式である。F = dA と代入すると、F完全形式であるので、直ちに、場の方程式

を得る。

ディラックのラグランジアン[編集]

ディラック場に対するラグランジアン密度は[6]

である。ここで ψディラック・スピノルψ = ψ γ0ψディラック共役ファインマンのスラッシュ記法を用いている。

量子電磁気学のラグランジアン[編集]

量子電磁気学(QED)のラグランジアン密度は、

である。ここに 電磁テンソルであり、Dゲージ共変微分英語版であり、 に対するファインマンのスラッシュ記法である。

量子色力学のラグランジアン[編集]

量子色力学(QCD)のラグランジアン密度は、[7][8][9]

である。ここに D は QCD ゲージ共変微分英語版であり、n = 1, 2, ...6 はクォークのタイプの数、グルーオン場の強さ英語版である。

参照項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ ラグランジアン密度ではすべての微分と座標が省略されることが標準的な記法であり、次のように書かれる。
    四勾配英語版を参照。μ は、インデックスの値を 0 (時間座標)、 1, 2, 3 (空間座標)としてとるので、各々に対しひとつだけ、微分と座標が存在する。一般には、すべての空間的と時間的な微分がラグランジアン密度の中に現れる。例えば、デカルト座標ではラグランジアン密度は次の形となる。
    ここに、同じことであるが、∇ を使いベクトルとしてすべての空間微分を省略する。

参考文献[編集]

  1. ^ Mandl F., Shaw G., Quantum Field Theory, chapter 2
  2. ^ Zee, A. (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. pp. 344–390. ISBN 9780691145587. 
  3. ^ Zee, A. (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. pp. 244–253. ISBN 9780691145587. 
  4. ^ Mexico, Kevin Cahill, University of New (2013). Physical mathematics (Repr. ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107005211. 
  5. ^ Zee, A. (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. pp. 381–383, 477–478. ISBN 9780691145587. 
  6. ^ Itzykson-Zuber, eq. 3-152
  7. ^ http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html
  8. ^ http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf
  9. ^ http://www-zeus.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/jets_ws0405/seminar09/sluka_quark_gluon_jets.pdf[リンク切れ]