オンシェルとオフシェル

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物理学、特に場の量子論において、古典力学的運動方程式を満たす物理系の構成を、オンシェル(on shell)と呼び、そうでないものをオフシェル(off shell)と呼ぶ。

例えば、作用の定式化の中での古典力学では、変分原理の極値解はオンシェル(質量シェル)[1]であり、オイラー=ラグランジュ方程式はオンシェルの方程式である(すなわち、それらはオフシェルでは成り立たない)。ネーターの定理もまた、オンシェルの定理である。

質量シェル[編集]

質量シェル(mass shell)という用語は、質量双曲面(mass hyperboloid)という用語から来ていて、これは、次の等式を記述するエネルギー-運動量空間の双曲面(hyperboloid)を意味する。

E^2 - |\vec{p} \,|^2 c^2 = m^2 c^4 \ .

この式は質量 m の粒子の特殊相対論で許されるエネルギー E で運動量 p の組み合わせを記述する。ここに c光速度である。質量シェルの方程式も、アインシュタインの縮約記法四元運動量の項でしばしば記述される。ここに単位をして c = 1 とすると、p^\mu p_\mu =  m^2 あるいは、より簡単に p^2 = m^2 としても表される。

ファインマン図形の中の内部プロパゲーターに対応する仮想粒子は、一般にはオフシェル(off shell)でありうるが、過程の振幅は、オフシェルからの離れ具合に依存して減少する。プロパゲーターは典型的には、質量シェル上に特異点を持っている[2]

古典論では粒子のエネルギーが負であることは許されないのであるが、プロパゲーターのことを言うときは、方程式を満たす E の負のエネルギーの値は、オンシェルにあるとして考える。このことの理由は、一方向へ粒子がエネルギーを運んでいる場合の一つの表現となっていることと、反粒子が反対の方向へエネルギーを運んでいることとして考え、従って、正と負のオンシェル E 単純に位置エネルギー反対の流れを表していると考える。

スカラー場での例[編集]

D-次元ミンコフスキー空間の中のスカラー場が一つの例である。ラグランジアン密度\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi) により与えられたとすると、作用は、

S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

である。この作用のオイラー=ラングランジェ方程式は、場を変動させ変化分を 0 とすることにより見つけることができ、

\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}

である。ここで、無限小の時空平行移動 x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu を考える。ラグランジアン密度 \mathcal{L} はスカラーであり、従って、\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} として変換する。ラグランジアン密度をテイラー展開すると、\delta \mathcal{L} に対し同値な表現を得る。

\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi) \ .

(変分は時空の各々の・で独立であるので)、\delta \mathcal{L} へ代入し、\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi) に注意すると、

\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi)

を得る。しかし場自身はスカラーであるので、これらの変換はちょうど \mathcal{L} のようになり、

\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi

となる。この式は独立した変換 \alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0) , (0,\epsilon, ...,0), ... に対しても成立せねばならないので、\alpha^\mu により次のように書き換えることができる。

 \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi \ .

この式は、運動方程式(この場合は、オイラー=ラグランジェ方程式)であるか否かにかかわらず、任意の場に対して成り立つので、オフシェルでも成り立つ方程式の例である。しかし、単にオイラー=ラグランジェ方程式へ代入することによりオンシェルの方程式を導出することができる。

 \partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}  \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi \ .

これを

 \partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0

と書くことができ、大括弧の中の量を T^\nu{}_\mu と書くと、

\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0

を得る。これはネーターの定理の一つの例であり、保存量ストレス・エネルギーテンソルである。すなわち、運動方程式を満たせば、ストレス・エネルギーテンソルが唯一のオンシェルである。

参考文献[編集]

  1. ^ Thomson, M. (2013). "Modern particle physics". Cambridge University Press, ISBN 978-1107034266 , p.117-119.
  2. ^ Thomson, M. (2013). "Modern particle physics". Cambridge University Press, ISBN 978-1107034266 , p.119.
  • 中西 襄: 場の量子論 倍風館, 新物理学シリーズ 19, p191