外接円

外接円（がいせつえん）は、多角形のすべての頂点を通る円である。外接円の中心を外心と呼ぶ。

外接円を持つ多角形は「円に内接する多角形」と言いかえることもできる。すべての正多角形・長方形・三角形は、外接円を持つ。

外接円に似た概念として、その多角形を内部に含む最小の円がある。この円は任意の多角形に対して存在する。外接円が存在する多角形において、この円が外接円と一致するとは限らない。例えば鈍角三角形に対する最小の円は一番長い辺を直径とする物であり、この円の周上にはもう1つの頂点は存在しない。

三角形の外接円

すべての三角形には外接円が存在する。三角形の外心は、3つの辺の垂直二等分線が交わる点である。

航海において、三角形の外接円は方位磁針が使用できない状況で六分儀を利用して位置を割り出すのに使用されることがある。

鋭角三角形の外心は三角形の内部にあり、鈍角三角形の外心は三角形の外部にある。直角三角形の外心は斜辺の中点である。

外接円の直径は、辺の長さとその辺に対する頂点の角度から求めることができる。これを正弦定理という。

三角形の外心はその三角形の重心・垂心と同じ直線上にある。この直線をオイラー線という。三角形の九点円の半径は、外接円の半径の半分である。

外接円の式

直交座標系における外接円の式は行列式を用いて以下のように表すことができる。

$\det {\begin{vmatrix}v^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\A^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\B^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\C^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{vmatrix}}=0$

ここで、A, B, C は各頂点を表す。この式を満たす v の集合が外接円となる（A² = A_x² + A_y² とする）。

外心の位置

外心を三線座標で表すと、 $\left(\cos(\alpha ),\cos(\beta ),\cos(\gamma )\right)$ となる。ここで、α,β,γ は3つの角の大きさとする。重心座標で表すと、 $\left(\sin(2\alpha ),\sin(2\beta ),\sin(2\gamma )\right)$ 又は $\left(a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}),\;b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}),\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right)$ となる。 $a,b,c$ は3つの辺の長さである。