九点円

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九点円

九点円(きゅうてんえん)は、三角形において特定の9個の点を通るの名称である。発見した人の名前から、オイラー円・フォイエルバッハ円とも呼ばれる。

概要[編集]

九点円は三角形の以下の9個の点を通る。

  • 3辺の中点
  • 3頂点から対辺に下ろした垂線の足
  • 垂心と3頂点の中点

九点円の中心はオイラー線上の垂心と外心の中点であり、半径は外接円の半分である。

歴史[編集]

三角形上の6個の点(上述の点のうち辺上にあるもの)を通るものは、フランスのジャン=ヴィクトル・ポンスレシャルル・ブリアンションによって最初に発見された。この円は六点円と呼ばれていたが、現在六点円は三角形上の別の円をさす名称となっている。その後、ドイツのカール・フォイエルバッハが残りの3点が同じ円上にあることを予想した。さらにその後、フランスのオルリー・テルケムが厳密な証明を与え、この円を九点円と命名した。

この円の存在をオイラーが18世紀に証明していたともいわれる。

定理[編集]

フォイエルバッハの定理[編集]

フォイエルバッハは、1822年に以下の定理を証明している。

この定理は「フォイエルバッハの定理」と呼ばれる、九点円に関する最も有名な定理のひとつである。

九点円と内接円の接点をフォイエルバッハ点と呼ぶ。

その他の定理[編集]

他に以下のような定理がある。

  • 三角形の3個の頂点と垂心の4点のどの3個を選んでも、その三角形に対する九点円は同じになる。
  • 外接円の対蹠点上にある2点から導かれる2本のシムソン線は、九点円上で直交する。
  • 垂心と外接円上の任意の点の中点は九点円上にある。

また、九点円の定理から以下の定理も導かれる。

  • 三角形の内心と傍心、傍心同士の中点は外接円上にある。