トリリウムの定理

トリリウムの定理 (トリリウムのていり、露: теорема трилистника、英: Trillium theorem）とは幾何学の定理である。

定理

△ABCにおける内心をI、点Aに対する傍心をJとする。半直線AI（これはJを通過する）と△ABCの外接円との交点をPとする。

このとき、点I,B,J,Cは点Pを中心とする同一円周上にある。

証明

半直線ABと傍接円との接点をHとする。

まず ∠BAP=∠CAP より PB=PC である。

次に

∠IBP=∠IBC+∠CBP=∠IBC+∠CAP=∠IBA+∠IAB=∠BIP

つまり ∠IBP=∠BIP

よって△PBIは二等辺三角形であり PB=PI である。

以上から PB=PI=PC である。

また

∠JBI=∠IBC+∠JBC=1/2∠ABC+1/2∠CBH=1/2(∠ABC+∠BCA+∠CAB)=90°

つまり ∠JBI=90°

いま直角三角形JBIにおいて斜辺IJ上に点Pがあることと PB=PI が分かっている。このとき

∠PJB=90°-∠BIP=90°-∠IBP=∠PBJ

より△PBJは二等辺三角形であり PB=PJ である。

以上から PB=PI=PC=PJ である。

これが示されるべきことであった(Q.E.D.)。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Incenter-Excenter Circle". mathworld.wolfram.com (英語).（内心-傍心円）