トレミーの定理

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トレミーの定理(トレミーのていり)とは、に内接する四角形 ABCD において、の長さに関する等式

AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC

が成り立つという幾何学定理。トレミーとは古代ギリシア天文学者クラウディオス・プトレマイオスのことであり、それゆえ本定理はプトレマイオスの定理とも呼ばれる。

トレミーの定理.jpg

証明[編集]

計算の便宜をはかり、a = AD, b = AB, c = BC, d = DC とおくことにする。また、∠A = ∠DAB, ∠B = ∠ABC, ∠C = ∠BCD, ∠D = ∠CDA のこととする。

余弦定理および内接四角形の性質より、

BD^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos A
BD^2 = c^2 + d^2 -2cd \cos C = c^2 + d^2 +2cd \cos A

が成り立つ。ここから cos A を消去して、

(ab + cd)BD^2 = (ad + bc)(ac + bd)

を得る。また AC について同様にして

(ad + bc)AC^2 = (ab + cd)(ac + bd)

となるから、2 式を掛けて

(ab + cd)(bc + ad)AC^2\cdot BD^2 = (ac + bd)^2(ad + bc)(ab + cd)

を得る。これを整理すれば、

AC \cdot BD = ac + bd

となる。すなわち、

AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC

が示された。