トレミーの定理

トレミーの定理（とれみーのていり）とは円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式

$AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC$

が成り立つという幾何学の定理。トレミーとは古代ギリシアの天文学者クラウディオス・プトレマイオスのことであり、それゆえ本定理はプトレマイオスの定理とも呼ばれる。

証明

計算の便宜をはかり、a = AD, b = AB, c = BC, d = DC とおくことにする。また、∠A = ∠DAB, ∠B = ∠ABC, ∠C = ∠BCD, ∠D = ∠CDA のこととする。

余弦定理および内接四角形の性質より、

$BD^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos A$、

$BD^2 = c^2 + d^2 -2cd \cos C = c^2 + d^2 +2cd \cos A$

が成り立つ。ここから cos A を消去して、

$(ab + cd)BD^2 = (ad + bc)(ac + bd)$

を得る。また AC について同様にして

$(ad + bc)AC^2 = (ab + cd)(ac + bd)$

となるから、2 式を掛けて

$(ab + cd)(bc + ad)AC^2BD^2 = (ac + bd)^2(ad + bc)(ab + cd)$

を得る。これを整理すれば、

$AC \cdot BD = ac + bd$

となる。すなわち、

$AC\cdot BD = AD\cdot BC + AB\cdot DC$

が示された。