完備距離空間

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数学において距離空間 $M$ が完備（かんび）^[1]であるとは、距離空間 $M$ におけるいかなるコーシー列も $M$ 内の点に収束することである。またこの空間のことを完備距離空間^[2]と呼ぶ。

目次

1 例
2 定理
3 脚注
4 関連項目

[編集] 例

絶対値による通常の距離を入れた有理数全体の集合 $\mathbf{Q}$ は完備ではない。例えば $x_1 = 1$ と $x_{n+1} = x_n/2 + 1/x_n$ で定義された数列で考えると、これは有理数からなるコーシー列であるが、収束点は $\sqrt{2}$ 、即ち無理数に収束しており、完備でないことがわかる。

距離空間 $M$ を通常の距離を入れた開区間 $(0, 1)$ と定める。このときコーシー列 $\{1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...\}$ は $M$ 内に収束しないので、完備ではない。しかし閉区間 $[0, 1]$ は完備である。

通常の距離を持つ実数直線 $\mathbf{R}$ 、複素数平面 $\mathbf{C}$ および、 $n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbf{R}^n$ は完備である。

[編集] 定理

距離空間 $M$ がコンパクトであることと、 $M$ が完備かつ全有界であることは同値である。

[編集] 脚注

^ 英: complete
^ 英: complete metric space

[編集] 関連項目

束論

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