宇宙際タイヒミュラー理論

宇宙際タイヒミュラー理論（うちゅうさいタイヒミュラーりろん、英語: Inter-Universal Teichmüller Theory、略称: IUT）は、数学者望月新一によって開発された、数論におけるさまざまな予想、特にABC予想を解く要件の考察により、遠アーベル幾何などを拡大した圏の宇宙際 (IU) 幾何を構想した数学理論である。望月が2000年代に開発した、p進タイヒミュラー理論、楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論、および、数論的log Scheme圏論的表示の構成等に続いた研究であり、「一点抜き楕円曲線付き数体」の「数論的タイヒミューラー変形」を遠アーベル幾何等を用いて「計算」する数論幾何学の理論である。ノッティンガム大学で純粋数学の教授を務めるイヴァン・フェセンコはIU幾何を遠アーベル幾何から派生した新たな類体論に位置付けている。

これを用いて望月は2022年に、ABC予想を完全証明することに成功した。

歴史

望月によれば、それは「楕円曲線を備えた数体のタイヒミュラー理論の算術版」である。2012年8月に、この理論は京都大学数理解析研究所（RIMS）が編集する論文誌PRIMS『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences』に投稿され、投稿された査読前の初稿を同所のプレプリントサーバが公示した。一方、2021年8月30日の投稿の際、PRIMS編集長の望月が投稿する場合は編集から排除する取り決めにより、玉川安騎男が編集長（その後に柏原正樹が共同編集長で参加）の特別編集委員会が設置され、その後７年半にわたる査読の審査の後、2021年3月4日のPRIMS特別号に論文が掲載された。

この理論は公開後にまもなくイヴァン・フェセンコにより論文が取り上げられたが、望月の新たな数学的手法と言語により「査読に時間がかかるだろう」と報じられた。その後の査読が通過する2020年2月までの間で、1000以上となる論文の質問への回答、指摘事項の修正や語句訂正等で100以上となる更新版とその改定内容が公開された。

2012年10月にヴェッセリン・ディミトロフとアクシェイ・ヴェンカテシュによる数値的な有効性の指摘で、望月は改定版を公開した。この修正で本質的結果は影響されないが「弱いABC予想」の証明となった。指摘の「エタール・テータ関数が素数 "2 "で分割する悪い場所においては正しく機能しなくなる」障害の課題は、2020年11月、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らによる宇宙際タイヒミュラー理論の追加となる論文で、楕円曲線の 6 等分点を用いる修正により回避され、数値的に有効となる不等式となる帰結が得られ、「強いABC予想」が証明された。

2015年にイヴァン・フェセンコ によって、望月の宇宙際タイヒミュラー理論のサーベイ論文が発表された。

IUTに関するワークショップが2015年から順次に開催され、日本国内では2015年3月にRIMSで、国際ワークショップは2015年7月に北京またが2015年12月にオックスフォードで、2016年7月および2021年9月にRIMS等で開催された。国際ワークショップは100人以上の参加者を集めた。これらのワークショップのプレゼンテーションはオンラインで見ることが出来る。オックスフォードでのワークショップの参加者のブライアン・コンラッド は「準備論文の理解に大きな進展があったが、本論文の検討にはたどり着けなかった。」と感想を述べている。

2017年9月1日、RIMSの山下剛から宇宙際タイヒミュラー理論に対するサーベイ論文が発表された。

2018年3月、ペーター・ショルツェとジェイコブ・スティックスが京都大学を訪れ、望月と星裕一郎は彼らと5日間議論し、双方による議論のレポートの作成につながった。ショルツェとスティックスは、2018年5月および2018年9月に公開した10ページのレポートで、IUT理論の系3.12の論理過程で反例があると主張した。一方で望月は、反例でIUT理論の前提にいくつかの簡略化がおこなわれ、それらを簡略化することが誤りと反論し、有効な反例とみなしてない。望月はショルツェとスティックスが公開したそれぞれのレポートに、彼の理論のどの側面が誤解されていると考えるか反論するレポートを公開した。

2020年2月5日、望月の証明は『PRIMS』の査読を通過したことが、2022年4月、PRIMS特別編集委員会の記者会見で共同編集委員長の柏原正樹、玉川安騎男から発表された。同会見で特別編集委員会共同編集長の柏原正樹が「ABC予想を証明した望月氏の論文が正しいものであると判断した」ことを公表した。なお内容に懐疑的な海外の数学者もごく少数いるが、玉川安騎男は「反論は出尽くしており、今後も平行線のままではないか」との見方を示しつつ、特別編集委員会では「望月教授自身が反論もしており、（ショルツェ教授からの）再反論もない」状況であるとの認識を表明した。

2021年3月、RIMSが編集する論文誌PRIMSは宇宙際タイヒミュラー理論の論文を特別号で掲載した。PRIMS特別編集委員会の共同編集委員長で、審査のまとめ役である玉川安騎男は「今回掲載されたものが未来に残る最終確定のものだ」とコメントした。

2021年3月、望月はIUT理論の論理展開について詳しく解説する論文を公開した。同論文で、誤解と混乱を与えているIUT理論の同型の数学的対象の複製をどのように同定し、論理構造への影響とそれを無効にしているかを述べて、理論の論理構造が論理的なAND “∧”であるが、OR “∨”に取り違えることでの簡略化による誤り、を詳述した。

2021年7月、ボン大学教授のペーター・ショルツェはZentralblatt Math誌で望月IUT論文に批判的なレビューを寄稿した。ただしこれは2018年に指摘した反例の回答に不満足を遅れて主張する書評で、2020年の「望月教授の反論に再反論」する、数学的に新たな指摘はなかった。

2021年8月から9月、将来数学分野のリードと研究者育成を目的とした訪問滞在型国際共同研究として、京都大学数理解析研究所RIMSで「宇宙際タイヒミューラー理論の拡がり」をテーマとした研究集会が開催され、85人以上の国際共同研究者を集めた。これらの研究集会のプレゼンテーションは数学者に向けたリンクからオンラインで見ることが出来る。

2022年4月、日本放送協会制作のドキュメンタリー番組『NHKスペシャル 数学者は宇宙をつなげるか？ａｂｃ予想証明をめぐる数奇な物語』が放送された。放送では、ABC予想を証明するためには「数学の世界に混ざり合うように存在しているたし算とかけ算を分離する」必要が根底にあり、望月のアイデアは「かけ算は成立するけど、たし算が成立しない数学世界を作ることで、たし算とかけ算を独立して扱う」手法の理論であると説明された。理論には「これまでの数学との違いを分かりやすく説明する言葉を見つけてほしい」等の意見があることが紹介され、一方、望月からは論理展開を詳しく解説するレポートの公開で応対していることが紹介された。

2022年4月、エクスター大学教授のモハメド・サイディは Math Reviews誌の書評で、宇宙際タイヒミュラー理論のCor3.12に関連したTheorem 3.11を肯定するレビューを寄稿した。

2022年7月、東京工業大学が編集する数学論文誌Kodai Mathematical Journalが、従来のIUT理論の不等式を楕円曲線の 6 等分点を用いて数値的に明示的な形（非明示的な「定数」が現れない）に帰結させた、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文を掲載した。この結果により、IUT理論は「弱いABC予想の証明」から「強いABC予想の証明」に適用を拡大し、フェルマーの最終定理の新たな方法による証明を得た。

これで、ABC予想は望月ら日本人研究者チームによって完全に証明され、未解決問題としての歴史に終止符を打った。

理論の範囲

宇宙際タイヒミュラー理論は、数論幾何学における望月の2000年代からの研究の続きである。これら理論は、国際的な数学界によって査読され、好評を得ており、遠アーベル幾何学への主要な貢献、およびp進タイヒミュラー理論、ホッジ・アラケロフ理論およびフロベニオイド圏の開発を含む。これは、ABC予想および関連する予想をより深く理解することを目的として明示的に参照して開発されたものであり、これら既存の理論の上にIUT理論は成り立っている。

幾何学的な設定では、IUTの特定のアイデアに類似したものが、幾何学的なスピロ不等式のフョードル・ボゴモロフによる証明に現れる。

IUTの重要な前提条件は、望月の単遠アーベル幾何学 とその強力な再構成結果である。これにより、その基本群または特定のガロア群の知識から、数体上の双曲線に関連するさまざまなスキーム理論オブジェクトを取得できる。IUTは、単遠アーベル幾何学のアルゴリズムの結果を適用して、算術変形を適用した後、関連するスキームを再構築する。主要な役割は、望月のエタルシータ理論で確立された3つの剛性によって演じられる。

大まかに言えば、乗法的情報から加法構造を遠アーベル的な復元を行ない、算術変形は与えられた環の乗算を変更し、タスクは加算が変更された量を測定することである。

遠アーベル的な復元、 変形手順のインフラストラクチャは、Θリンクやlogリンクなど、いわゆるホッジ劇場間の特定のリンクによってデコードされる。

これらのホッジ劇場は、IUTの2つの主要な対称性を使用する。乗法演算と加法幾何学である。ホッジ劇場は、アデールやイデールなどの古典的オブジェクトをグローバル要素に関連して一般化し、一方で、望月のホッジ・アラケロフ理論に登場する特定の構造を一般化する。劇場間のリンクは、環またはスキーム構造と互換性がなく、従来の数論幾何学の外部で実行される。 ただし、それらは特定の群構造と互換性があり、絶対ガロア群や特定のタイプの位相群はIUTで基本的な役割を果たす。関数性の一般化である多重放射性の考慮事項は、3つの穏やかな不確定性を導入する必要があることを意味している。

数論の結果

IUTは主に、数論におけるさまざまな予想、特にディオファントス問題の解析に適用されるが、次のようなより多くの幾何学的予想に適用される。

最初の進展は、宇宙際タイヒミュラー理論の原論文の帰結による、弱いABC予想、楕円曲線ではスピロ予想、楕円曲線のFrey予想、曲線ではヴォイタ予想への適用である。これらのオブジェクトの算術情報を、フロベニオイド圏の設定に変換することである。この側の追加の構造により、主張された結果に変換されるステートメントを推測することができると主張されている。

2つめの進展としては、2022年7月に数学誌Kodai Mathematical Journalに掲載された、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読付き論文で、IUT理論に登場する不等式を数値的に明示的な形に帰結され、強いABC予想の証明、デュサールの式、およびフェルマーの最終定理の別証明、への適用を拡げた。

3つめの進展としては、IUTにおけるテータ関数を、メリン変換によってリーマンのゼータ関数と関係させることができるのではないかと期待しての研究で、宇宙際タイヒミュラー理論と、リーマンゼータ関数を一般化したDirichlet L関数の零点の間に数学的な関係があったとされて、L関数の零点で応用が検討されている。

その他の進展としては、高機能暗号への暗号理論的な検討などで、応用が検討されている。

関連項目

• 遠アーベル幾何学
• 類体論

外部リンク

• Shinichi Mochizuki (1995–2018), Papers of Shinichi Mochizuki
• Shinichi Mochizuki (2014), A panoramic overview of inter-universal Teichmüller theory
• Yuichiro Hoshi; Go Yamashita (2015), RIMS Joint Research Workshop: On the verification and further development of inter-universal Teichmuller theory
• Ivan Fesenko (2015), Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki.
• Yuichiro Hoshi (2015) Introduction to inter-universal Teichmüller theory, a survey in Japanese
• Ivan Fesenko (2015), Oxford Workshop on IUT Theory of Shinichi Mochizuki
• Shinichi Mochizuki (2016), The mathematics of mutually alien copies: from Gaussian integrals to inter-universal Teichmüller theory
• Ivan Fesenko; Shinichi Mochizuki; Yuichiro Taguchi (2016), Inter-universal Teichmüller Theory Summit, RIMS workshop
• 星裕一郎:「宇宙際Teichmüller 理論入門（2015年11月） (PDF)
• 星裕一郎:「続・宇宙際 Teichmüller 理論入門（2018年9月） (PDF)
• 京大数理研で行なわれたIUTeichに関する議論を纏めた報告書（2019年2月現在） (PDF)

関連書籍

• 加藤文元：「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」、KADOKAWA、 ISBN 978-4044004170 (2019年4月25日)。