メリン変換

数学におけるメリン変換（メリンへんかん、英: Mellin transform）とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。

関数 f のメリン変換は

$\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx$

により定義される。またメリン逆変換は

$\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds$

により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。このような逆が存在するための条件は、メリン逆定理で与えられている。

この変換の名はフィンランドの数学者ハジャルマー・メリンの名にちなむ。

他の変換との関係

両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて

$\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)$

と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により

$\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)$

と表される。

メリン変換は、積分核 x^s を用いた、加法的ハール測度 $\frac{dx}{x}$ についての積分と考えることが出来る。ここで $\frac{dx}{x}$ は拡張 $x \mapsto ax$ について不変であり、したがって $\frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x}$ が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 $dx$ についての積分と考えられる。ここで $dx$ は移動不変であり、したがって $d(x+a) = dx$ が成り立つ。

同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、

$\left\{\mathcal{F} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(is) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(is)$

が成立する。反対に

$\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is)$

も成立する。メリン変換はまた、ニュートン級数や二項変換を、ポアソン-メリン-ニュートン・サイクルの意味におけるポアソン母関数と結び付ける。

例

カヘン-メリン積分

$c>0$、$\Re(y)>0$ および主枝上の $y^{-s}$ に対して、

$e^{-y}= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds$

が成立する。ここで $\Gamma(s)$ はガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている。

数論

数論における重要な応用例として、単関数 $f(x)=\begin{cases} 0 & x < 1, \\ x^{a} & x > 1 \end{cases}$ に対し

$\mathcal M f (s)= \frac 1 {s+a}$

が成立する、ということが挙げられる。

L² 上のユニタリ作用素として

ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。$L^2(0,\infty)$ （Lp空間を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に $\tfrac{1}{2}+i\mathbb{R}$ を含む。そのため、線形作用素 $\tilde{\mathcal{M}}$ を

$\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx$

によって定義することが出来る。言い換えると、集合

$\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is)$

を定義することが出来る。この作用素は通常 $\mathcal{M}$ とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために $\tilde{\mathcal{M}}$ を記号として用いる。このときメリン逆定理により、$\tilde{\mathcal{M}}$ は可逆であって、その逆は

$\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds$

と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち $\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)}$ がすべての$f\in L^2(0,\infty)$ に対して成立することが分かる（この性質のために係数 $1/\sqrt{2\pi}$ が用いられている）。したがって、$\tilde{\mathcal{M}}$ はユニタリ作用素である。

確率論において

確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる。X を確率変数とし、X⁺ = max{X,0} をその正の部分、X⁻ = max{−X,0} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は

$\mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty x^s dF_{X^+}(x) + \gamma\int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x),$

として定義される。ここで γ は、γ² = 1 を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b}（ただしa ≤ 0 ≤ b）内のすべての s に対して存在する。

確率変数 X のメリン変換 $\scriptstyle\mathcal{M}_X(it)$ は、その分布関数 F_X を一意に定める。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい。すなわち、

$\mathcal{M}_{XY}(s) = \mathcal{M}_X(s)\mathcal{M}_Y(s)$

が成立する。

応用

メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。

この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。

その他の例

• ディリクレ級数へのメリン逆変換の応用について述べたものに、ペロンの公式がある。
• メリン変換は素数計数関数の解析に用いられる。またリーマンゼータ関数の議論にも現れる。
• メリン逆変換は主にリース平均に現れる。
• メリン変換はオーディオ・タイムスケール-ピッチ調整に使うことが出来る。

関連項目

• メリン逆定理
• ペロンの公式

参考文献

• Galambos, Janos; Simonelli, Italo (2004). Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc.. ISBN 0-8247-5402-6. 
• Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Cambridge University Press. 
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998). Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4. 
• Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). “Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”. Theoretical Computer Science 144 (1-2): 3–58. 
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Weisstein, Eric W., "Mellin Transform" - MathWorld.（英語）

外部リンク

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (in Spanish).
• Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
• Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX