メリン変換

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数学におけるメリン変換(メリンへんかん、: Mellin transform)とは、両側ラプラス変換乗法版英語版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換フーリエ変換ガンマ関数特殊関数の理論と関係している。

この変換の名はフィンランドの数学者ハジャルマー・メリン英語版の名にちなむ。

定義[編集]

局所可積分な関数 f のメリン変換は

\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx

により定義される。 任意の小さな正の数 \epsilon に対して、 x\to +0 のとき f(x)=O(x^{-a-\epsilon})x\to +\infty のとき f(x)=O(x^{-b+\epsilon}) と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、 \left\{\mathcal{M}f\right\}(s)a<\Re (s)<b で解析的な関数となる。

また、メリン逆変換は

\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds

により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 ca<c<b を満たす任意の実数である。 このような逆が存在するための条件は、メリン逆定理英語版で与えられている。

他の変換との関係[編集]

両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて

 \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)

と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)

と表される。

メリン変換は、積分核 xs を用いた、加法的ハール測度 \frac{dx}{x} についての積分と考えることが出来る。ここで \frac{dx}{x} は拡張 x \mapsto ax について不変であり、したがって \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 dx についての積分と考えられる。ここで dx は移動不変であり、したがって d(x+a) = dx が成り立つ。

同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、

\left\{\mathcal{F} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(is) 
= \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(is)

が成立する。反対に

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} 
f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is)

も成立する。メリン変換はまた、ニュートン級数英語版二項変換英語版を、ポアソン-メリン-ニュートン・サイクル英語版の意味におけるポアソン母関数英語版と結び付ける。

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カヘン-メリン積分[編集]

c>0\Re(y)>0 および主枝英語版上の y^{-s} に対して、

e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}
\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds

が成立する。ここで \Gamma(s)ガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている[1]

数論[編集]

数論における重要な応用例として、単関数 f(x)=\begin{cases} 0  & x < 1, \\ x^{a}  & x > 1 \end{cases} に対し

\mathcal M f (s)= \frac 1 {s+a}

が成立する、ということが挙げられる。

L2 上のユニタリ作用素として[編集]

ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。L^2(0,\infty)Lp空間を参照されたい)の関数に対して、基本帯(fundamental strip)は常に \tfrac{1}{2}+i\mathbb{R} を含む。そのため、線形作用素 \tilde{\mathcal{M}}

\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx

によって定義することが出来る。言い換えると、集合

\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is)

を定義することが出来る。この作用素は通常 \mathcal{M} とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために \tilde{\mathcal{M}} を記号として用いる。このときメリン逆定理英語版により、\tilde{\mathcal{M}} は可逆であって、その逆は

\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds

と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち \|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)} がすべてのf\in L^2(0,\infty) に対して成立することが分かる(この性質のために係数 1/\sqrt{2\pi} が用いられている)。したがって、\tilde{\mathcal{M}}ユニタリ作用素である。

確率論において[編集]

確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる[2]X を確率変数とし、X+ = max{X,0} をその正の部分、X − = max{−X,0} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は


    \mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty  x^s dF_{X^+}(x) + \gamma\int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x),

として定義される[3]。ここで γ は、γ2 = 1 を満たすもの(formal indeterminate)である。この変換は、複素帯領域 D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b}(ただしa ≤ 0 ≤ b)内のすべての s に対して存在する[3]

確率変数 X のメリン変換 \scriptstyle\mathcal{M}_X(it) は、その分布関数 FX を一意に定める[3]。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい[4]。すなわち、


    \mathcal{M}_{XY}(s) = \mathcal{M}_X(s)\mathcal{M}_Y(s)

が成立する。

応用[編集]

メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。

この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。

その他の例[編集]

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1916). “Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes”. Acta Mathematica 41 (1): 119–196. doi:10.1007/BF02422942.  (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)
  2. ^ Galambos & Simonelli (2004, p. 15)
  3. ^ a b c Galambos & Simonelli (2004, p. 16)
  4. ^ Galambos & Simonelli (2004, p. 23)

参考文献[編集]

  • Galambos, Janos; Simonelli, Italo (2004). Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc.. ISBN 0-8247-5402-6. 
  • Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Cambridge University Press. 
  • Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998). Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4. 
  • Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). “Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”. Theoretical Computer Science 144 (1-2): 3–58. 
  • Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • Weisstein, Eric W., "Mellin Transform" - MathWorld.(英語)

外部リンク[編集]