ABC予想

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数学上の未解決問題
a + b = c

を満たす、互いに素な自然数の組 (a, b, c) に対し、積 abc の互いに異なる素因数の積を d と表す。このとき、任意の ε > 0 に対して、

c > d1+ε

を満たす組 (a, b, c) は高々有限個しか存在しないであろうか?

Question mark2.svg

abc予想(abcよそう、別名 Oesterlé–Masser 予想)は、1985年に Joseph Oesterlé と David Masser により提起された数論の予想である。これは多項式に関するメーソン・ストーサーズの定理整数における類似であり、互いに素でありかつ a + b = c を満たすような3つの自然数(この予想に呼び方を合わせると)a, b, c について述べている。

abc予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから有名になった。数論における数多の有名な予想や定理が abc予想から直ちに導かれる。Goldfeld (1996) は、abc予想を「ディオファントス解析で最も重要な未解決問題」であるとしている。

2012年8月、京都大学数理解析研究所教授の望月新一は abc予想を証明したとする論文を発表した。望月は証明に用いた理論を宇宙際タイヒミュラー理論英語版と呼んでおり、他にもスピロ予想 (Szpiro's conjecture) とヴォイタ予想 (Vojta's conjecture) の証明などを含む応用があるという[1][2][3]

定式化[編集]

自然数 n に対して、n の互いに異なる素因数の積を n根基 (radical) と呼び、rad n と書く。以下に例を挙げる。

  • p素数ならば、rad (p ) = p
  • rad (8) = rad (23) = 2
  • rad (45) = rad (32·5) = 3·5 = 15

自然数の組 (a, b, c) で、a + b = c, a < b で、ab互いに素であるものを abc-triple と呼ぶ。大抵の場合は c < rad (abc) が成り立つが、abc予想が主張するのはこれが成り立たない例外(例えば、a = 1, b = 8, c = 9, rad (abc) = 6 など)の方である。すなわち、任意の ε > 0 に対して、次を満たすような自然数の組 (a, b, c) は高々有限個しか存在しないであろうと述べている。

c>\operatorname{rad} (abc)^{1+\varepsilon}

これと同値な他の定式化(Oesterlé, Masser の abc予想)として次のものがある。すなわち、任意の ε > 0 に対してある K (ε) > 0 が存在し、全ての abc-triple な (a, b, c) について次が成り立つという。

c<K(\varepsilon ) \cdot \operatorname{rad} (abc)^{1+\varepsilon}
K(ε) を ε に依らずに取ることはできない。)

三つ目の定式化は「」(quality) と呼ばれる概念を導入して表現する。 abc-triple (a, b, c) に対して、質 q (a, b, c) を次のように定義する。

q(a,b,c)=\frac{\log c}{\log ( \operatorname{rad} (abc))}

abc予想は、任意の ε > 0 に対して、 q (a, b, c) > 1 + ε を満たす abc-triple (a, b, c) は、高々有限個しか存在しないということを主張している。

現在、q (a, b, c) > 1.6 を満たす abc-triple は後述の通り3組しか知られていない。q (a, b, c) を 2 まで大きくすれば、そうした abc-triple は存在しないという予想もある。すなわち「全ての abc-triple (a, b, c) に対して、c < rad (abc)2 を満たすであろう」という主張だが、こちらも肯定も否定もされていない。

得られる結果の例[編集]

abc予想を真だと仮定すると多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば(予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもある)、部分的証明となるものもある。abc予想がもし早期に証明されていたなら、得られる系という意味での影響はもっと大きかったが、abc予想が成立した場合に解決される予想はまだ残っており、また数論の深い問題と数多くの結び付きがあるので、abc予想は依然として重要な問題であり続けている。

トゥエ=ジーゲル=ロスの定理
代数的数のディオファントス近似に関する定理。
フェルマーの最終定理
指数が十分大きい場合 (Granville & Tucker 2002)。定理自体はワイルズが証明した。
abc予想が K = 1 かつ ε = 1 で正しければ 、互いに素な自然数 A, B, CA + B = C を満たすとき C < (rad ABC)2 が成り立つ。
互いに素な自然数 a, b, can + bn = cn を満たすと仮定すると、an, bn, cn は互いに素より、A = an, B = bn, C = cn を代入して
c^n < (\operatorname{rad} \, a^n b^n c^n )^2 =( \operatorname{rad} \, abc)^2 \le (abc)^2 < (c^3)^2 = c^6
が成り立つ (\operatorname{rad} \, x^n = \operatorname{rad} \, x, \operatorname{rad} x \le x, abc<c\cdot c\cdot c)。
cn < c6, c > 1 より n < 6。n = 3, 4, 5 については古典的な証明があるので3以上の n について証明される (山崎 2010, p. 11)。
モーデル予想ファルティングスの定理)
(Elkies 1991)
エルデシュ=ウッズ予想英語版
但し有限個の反例を除く (Langevin 1993)。
ヴィーフェリッヒ素数英語版が無限個存在すること
(Silverman 1988)。
弱い形のマーシャル・ホール予想英語版
整数の平方数と立方数の間隔に関する予想 (Nitaj 1996)。
フェルマー=カタラン予想
フェルマーの最終定理の拡張であり、冪の和である冪を扱う (Pomerance 2008)。
ルジャンドル記号を用いて記述したディリクレのL関数 L(s, (-d/.)) がジーゲル零点英語版を持たないこと
(正確には、このためには上で紹介している有理整数を扱うabc予想に加えて、代数体上の一様な abc予想を用いる。)(Granville & Stark 2000)。
整数x と少なくとも3個の単純な零点を持つ多項式P を取ると、P(x) は有限個の冪しか持たない[4]
ティーデマンの定理英語版の一般化
\scriptstyle y^m \; = \; x^n \, +\, k が持つ解の個数について。ティーデマンの定理は \scriptstyle k \;=\; 1 である場合を述べている。また、\scriptstyle A y^m \;=\; B x^n \,+\, k が持つ解の個数に関するピライ予想 (1931)。
グランヴィル=ランジュバン予想英語版と同値。
強く修正したスピロ予想と同値。
これは境界として \scriptstyle \operatorname{rad} \, (abc)^{\frac{6}{5} +\epsilon} を与える (Oesterlé 1988)。
任意の整数A について、\scriptstyle n! \,+\, A \;=\; k^2 が有限個の解しか持たないこと
(Dąbrowski 1996)。

コンピューティングによる成果[編集]

2006年、オランダのライデン大学数学研究所は、さらなる abc-triple を発見しようと、Kennislink科学協会と共に分散コンピューティングシステムのABC@Homeプロジェクトを立ち上げた。たとえ発見された例または反例が abc予想を解決することができなくとも、このプロジェクトによって発見される組み合わせが、予想と整数論についての洞察に繋がることが期待されている。

q は上記で定義した abc-triple (a, b, c) の質 q(a, b, c) である。このとき、c の上限によって、質 q は以下のような分布を取る。

q > 1 となる abc-triple の質 q の分布[5]
q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4
c < 102 6 4 4 2 0 0
c < 103 31 17 14 8 3 1
c < 104 120 74 50 22 8 3
c < 105 418 240 152 51 13 6
c < 106 1,268 667 379 102 29 11
c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17
c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25
c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34
c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51
c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64
c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74
c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84
c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98
c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112
c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126
c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143
c < 1018 14,482,059 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160

2012年9現在、ABC@Homeは2,310万個の3つ組を発見しており、当面の目標を 1020 を超えない c についての全ての abc-triple (a, b, c) を見つけることとしている[6]

質の大きいabc-triple[7]
q a b c Discovered by
1 1.6299 2 310​109 235 Eric Reyssat
2 1.6260 112 32​56​73 221​23 Benne de Weger
3 1.6235 19·1307 7·​292​318 28322​54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4 1.5444 72​412​3113 1116​132​79 2·​33​523​953 Abderrahmane Nitaj
5 1.4805 522​79·​45949 32​1318​613 223​174​2512​17333 Frank Rubin

証明[編集]

2012年8月30日、京都大学数理解析研究所教授の望月新一が abc予想を証明する論文をインターネット上に公開した[1][8][9][10][11]イギリスの科学誌ネイチャーは、同教授は新たな数学的手法を開発し、それを駆使して証明を展開しているため「査読に時間がかかるだろう」と報じた[2][12]。証明に用いた新たな手法(宇宙際タイヒミュラー理論)は他の整数論の問題を解く強力な道具になると期待されている[12]

それらの論文について、2012年10月に Vesselin Dimitrov とアクシェイ・ヴェンカテシュ英語版により誤りが指摘[13]されたが、望月は指摘を認めつつ本質的結果は影響されないとコメントし、訂正を約束した[14]。以後、同年12月より指摘事項の修正や他の校正等を含む一連の訂正版論文を発表している[8]

脚注[編集]

  1. ^ a b Mochizuki, Shinichi (2012-08-30). "Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations." (PDF). Working Paper. Retrieved 2012-09-18. 
  2. ^ a b Ball, Phillip (10 September 2012), “Proof claimed for deep connection between primes”, Nature, http://www.nature.com/news/proof-claimed-for-deep-connection-between-primes-1.11378 .
  3. ^ Cipra, Barry (September 12, 2012), “ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot”, Science, http://news.sciencemag.org/sciencenow/2012/09/abc-conjecture.html 
  4. ^ http://www.math.uu.nl/people/beukers/ABCpresentation.pdf
  5. ^ “Synthese resultaten”, RekenMeeMetABC,nl, http://www,rekenmeemetabc,nl/?item=h_stats 2011年1月1日閲覧。  (オランダ語),[リンク切れ]
  6. ^ “Data collected sofar”, ABC@Home, http://abcathome.com/data/ 2012年9月10日閲覧。 
  7. ^ 100 unbeaten triples”. Reken mee met ABC (2010年11月7日). 2012年9月20日閲覧。
  8. ^ a b 望月新一の最新情報”. 京都大学数理解析研究所望月研究室 (2012年8月30日). 2012年9月18日閲覧。
  9. ^ Mochizuki, Shinichi (2012-08-30). "Inter-universal Teichmüller Theory I: Construction of Hodge Theaters." (PDF). Working Paper. Retrieved 2012-09-18. 
  10. ^ Mochizuki, Shinichi (2012-08-30). "Inter-universal Teichmüller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation." (PDF). Working Paper. Retrieved 2012-09-18. 
  11. ^ Mochizuki, Shinichi (2012-08-30). "Inter-universal Teichmüller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice." (PDF). Working Paper. Retrieved 2012-09-18. 
  12. ^ a b “数学の難問「ABC予想」、京大教授が解明か”. 共同通信社. 日本経済新聞. (2012年9月18日). http://www.nikkei.com/article/DGXNASDG1805T_Y2A910C1000000/?dg=1 2012年9月18日閲覧。 
  13. ^ この議論の発端は、MathOverflowの記事 Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture である
  14. ^ Kevin Hartnett (2012年11月3日). “An ABC proof too tough even for mathematicians”. Boston Globe. http://www.bostonglobe.com/ideas/2012/11/03/abc-proof-too-tough-even-for-mathematicians/o9bja4kwPuXhDeDb2Ana2K/story.html 

参考文献[編集]

関連文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]