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物理学では、ブラックホールの熱力学(black hole thermodynamics)はブラックホールno 事象の地平線を持つ熱力学の法則を探す研究分野である。黒体輻射の統計力学の研究として多くが、量子力学の到来を促し、ブラックホールの統計力学を理解しようとする努力が、量子重力を理解しようとすることに深い影響をもっていて、ホログラフィック原理の定式化を導いた。^[1]

ブラックホール

熱力学第二法則を満たす唯一の方法は、ブラックホールがエントロピーを持つことを認めることある。ブラックホールがエントロピーを持っていないと、ブラックホールに何らかの質量を持ったものを投げ込むことで、第二法則を破ることが可能となってしまう。対象を飲み込むことで失われるエントロピーの減少を、ブラックホールのエントロピーの増加は上まわる。

スティーブン・ホーキング(Stephen Hawking)によって証明された定理から始めて、ヤコブ・ベッケンシュタイン(Jacob Bekenstein)は、ブラックホールのエントロピーは事象の地平線の面積をプランク定数で割った値に比例するであろうと予想した。ベッケンシュタインは、比例定数は (½ ln 2)/4π であり、この値に正確に一致しない場合は、この値に票に近い値となるであろうことを示唆した。翌年、ホーキングは、ブラックホールが熱的な輻射、ホーキング輻射をしていることを示し^[2]^[3]、これに対応してある温度（ホーキング温度）があることを示した^[4]^[5]。エネルギーと温度とエントロピーの熱力学の関係を使い、ホーキングはベッケンシュタインの予想を確認することが可能であるとし、比例定数を 1/4 とできることを確立した^[6]。

S_{\text{BH}}={\frac {kA}{4\ell _{\mathrm {P} }^{2}}}

ここに A は事象の地平線の表面積 4πR² であり、k はボルツマン定数で、 $\ell _{\mathrm {P} }={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}$ はプランク長である。この式はしばしばベッケンシュタイン・ホーキング公式(Bekenstein–Hawking formula)と言われる。BH という記述は、「ブラックホール」であったり、「ベッケンシュタイン・ホーキング」であったりする。ブラックホールのエントロピーは事象の地平線の面積 $A$ に比例する。ブラックホールのエントロピーがベッケンシュタインにより得られた最大エントロピー（ベッケンシュタインはベッケンシュタイン境界を不等式として表した）を持つことが、ホログラフィック原理を導いた重要な見方である。^[1]

ホーキングの計算はブラックホールの熱力学的な根拠を与えたが、1995年までだれもが統計力学を基礎としたブラックホールのエントロピーの統制された計算をすることができなかった。ブラックホールのエントロピーは巨大な数のマイクロステートを持っている。事実、いわゆる「ノーヘア定理」^[7] は、ブラックホールは単一のマイクロステートしか持っていないことを示しているかのように思えた。状況は1995年に変わり、アンドリュー・ストロミンジャー(Andrew Strominger)とカムラン・バッファ（英語版）(Cumrun Vafa)が、D-ブレーン（英語版）を基礎とした方法を使い、弦理論の超対称性を持つブラックホールの正しいベッケンシュタイン・ホーキングのエントロピーを計算した^[8]。彼らの計算は、他の臨界ブラックホールや臨界ブラックホールに近いブラックホール(near-extremal black hole)の多くのクラスに対する同じような計算に拡張されていて、結果はいつもベッケンシュタイン・ホーキングの公式に一致している。

ループ量子重力理論(LQG)^[9]では、マイクロステートを幾何学的に解釈することが可能となっている。ループ量子重力理論は、事象の地平線を量子幾何学的に解釈し、エントロピーの有限性と事象の地平線の面積との比例定数を幾何学的に説明する^[10]^[11]。スピンフォアム（英語版）(spinfoam)と呼ばれる量子論の共変的定式化から、エネルギーと面積（第一法則）の関係式やウンルー温度（英語版）やホーキングエントロピーの分布を導出することを可能としている。^[12]。計算は力学的地平線（英語版）(dynamical horizon)の考え方を使い、非臨界ブラックホールの場合も計算されている。

ブラックホールの力学法則

4つのブラックホールの力学法則がブラックホールの満たすと信じられている物理的性質である。法則は熱力学の法則に似ていて、ブランドン・カーター（英語版）(Brandon Carter)、スティーブン・ホーキング、ジェームズ・バーディーン（英語版）(James Bardeen)により発見された。

法則の記述

ブラックホールの力学は幾何学単位系(geometrized units system)で表現される。

第ゼロ法則

停留(stationary)ブラックホールでは、地平線は定数の表面重力(surface gravity)を持っている。

第一法則

停留ブラックホールを摂動すると、エネルギーの変化は、次の関係式で表面積、角運動量、電荷が変化する。

dE={\frac {\kappa }{8\pi }}\,dA+\Omega \,dJ+\Phi \,dQ

ここに $E$ はエネルギーで、 $\displaystyle \kappa$ は表面重力、 $A$ は地平線の面積、 $\Omega$ は角速度、 $J$ は角運動量、 $\Phi$ は静電気的ポテンシャル（英語版）(electrostatic potential)、 $Q$ は電荷である。

第二法則

地平線の面積は、弱エネルギー条件（英語版）を前提とすると、時間の非減少函数である。

{\frac {dA}{dt}}\geq 0.

この「法則」はホーキングの発見であるブラックホールの輻射が取って代わる。ホーキング輻射は、ブラックホールの質量と地平線の面積を時間に従い減少する。

第三法則

表面重力がゼロであるブラックホールは存在し得ない。 $\displaystyle \kappa$ = 0 へは到達できない。

法則についての議論

第ゼロ法則

第ゼロ法則は熱力学の第ゼロ法則の類似で、熱平衡の中では物体の中の温度は定数であることを言っている。このことは表面重力が温度の類時である。正規化された系の熱平衡状態の定数 T は、停留ブラックホールの地平線上の定数 $\displaystyle \kappa$ の類似である。

第一法則

左辺の dE は（質量に比例した）エネルギーの変化分である。右辺の第一項は直ちには物理的な意味が明確でないが、第二、第三項は回転と電磁気学によるエネルギーの変化を表している。同様に、熱力学第一法則はエネルギー保存則を記述しており、右辺の T dS を保存する。

第二法則

第二法則はホーキングの面積定理の記述である。熱力学第二法則と同様で、孤立した系のエントロピーの変化は、孤立した系では 0 か正であり、このことはエントロピーとブラックホールの地平線の面積との関係を示唆している。しかしながら、このバージョンは、ブラックホールに物質を投げ込むことでエントロピーを減少させ、ブラックホールはエントロピーを失うことで、熱力学の第二法則を破る。そのため、一般化された第二法則では、

[全エントロピー] = [ブラックホールのエントロピー] + [外側のエントロピー]

と考える。

第三法則

臨界ブラックホール^[13] は、表面重力がゼロである。 $\displaystyle \kappa$ をゼロとすることはできないということは、熱力学第三法則の類似であり、このことは絶対ゼロ度の系のエントロピーは定数として定義できることを言っている。絶対ゼロ度の系は基底状態の中にあるからである。さらに、ΔS が絶対ゼロ度でゼロとなるが、S 自身は少なくとも完全結晶では、ゼロへは到達となる。熱力学の法則を破る評価実験は全く知られていない。

法則の解釈

4つのブラックホールの力学法則は、少なくともある係数を除外して考えると、ブラックホールの表面重力を温度やエントロピーを持つ地平線の面積と同一視すべきであることを示唆している。古典的にブラックホールを考えると、温度はゼロ度であり、ノーヘア定理とゼロエントロピーであり^[7]、ブラックホールの力学は類似のままである。しかしながら、量子力学的効果を考えにいれると、ブラックホールは熱輻射(ホーキング輻射)、その温度は、

T_{\text{H}}={\frac {\kappa }{2\pi }}

である。ブラックホールの力学の第一法則より、この式がベッケンシュタイン・ホーキングエントロピーの係数を決定し、

S_{\text{BH}}={\frac {A}{4}}

となる。

ブラックホールを超えて

ホーキングとベージ(Page)は、ブラックホールの熱力学をブラックホールよりもより一般的化できることを示した。天文学的事象の地平線(cosmological event horizons)はエントロピーと温度を持っている。

さらに基本的なことは、トフーフト（英語版）とサスカインド（英語版）(Susskind)はブラックホールの熱力学の法則を使い、自然界の一般的なホログラフィック原理を議論している。この議論は重力と量子力学の整合性を持つ理論はより低い次元にあるべきであるとしている。未だに完全には理解されてはいないが、ホログラフィック原理はAdS/CFT対応^[14]のような理論の中心的な考え方となっている。

参照項目

脚注

^ ^a ^b Bousso, Raphael (2002). “The Holographic Principle”. Reviews of Modern Physics 74 (3): 825–874. arXiv:hep-th/0203101. Bibcode: 2002RvMP...74..825B. doi:10.1103/RevModPhys.74.825.
^ "First Observation of Hawking Radiation" from the Technology Review
^ Matson, John (Oct. 1 2010). “Artificial event horizon emits laboratory analogue to theoretical black hole radiation”. Sci. Am.
^ Charlie Rose: A conversation with Dr. Stephen Hawking & Lucy Hawking
^ A Brief History of Time, Stephen Hawking, Bantam Books, 1988.
^ Majumdar, Parthasarathi (1998). “Black Hole Entropy and Quantum Gravity”. ArXiv: General Relativity and Quantum Cosmology. arXiv:gr-qc/9807045. Bibcode: 1999InJPB..73..147M.
^ ^a ^b http://arxiv.org/abs/gr-qc/0702006 No hair theorems for positive Lambda
^ doi:10.1016/0370-2693(96)00345-0
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^ See List of loop quantum gravity researchers
^ Rovelli, Carlo (1996). “Black Hole Entropy from Loop Quantum Gravity”. Physical Review Letters 77: 3288–3291. arXiv:gr-qc/9603063. Bibcode: 1996PhRvL..77.3288R. doi:10.1103/PhysRevLett.77.3288.
^ Ashtekar, Abhay; Baez, John; Corichi, Alejandro; Krasnov, Kirill (1998). “Quantum Geometry and Black Hole Entropy”. Physical Review Letters 80 (5): 904–907. arXiv:gr-qc/9710007. Bibcode: 1998PhRvL..80..904A. doi:10.1103/PhysRevLett.80.904.
^ Bianchi, Eugenio (2012). Entropy of Non-Extremal Black Holes from Loop Gravity. arXiv:gr-qc/1204.5122.
^ Supersymmetry as a Cosmic Censor Authors: Renata Kallosh, Andrei Linde, Tomás Ortín, Amanda Peet, Antoine Van Proeyen http://arxiv.org/abs/hep-th/9205027
^ For an authoritative review, see Ofer Aharony, Steven S. Gubser, Juan Maldacena, Hirosi Ooguri and Yaron Oz (2000). “Large N field theories, string theory and gravity”. Physics Reports 323: 183–386. arXiv:hep-th/9905111. Bibcode: 1999PhR...323..183A. doi:10.1016/S0370-1573(99)00083-6. (Shorter lectures by Maldacena, based on that review.

参考文献

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外部リンク

[Bousso_2002_825–874-1] Bousso, Raphael (2002). “The Holographic Principle”. Reviews of Modern Physics 74 (3): 825–874. arXiv:hep-th/0203101. Bibcode: 2002RvMP...74..825B. doi:10.1103/RevModPhys.74.825.

[2] "First Observation of Hawking Radiation" from the Technology Review

[3] Matson, John (Oct. 1 2010). “Artificial event horizon emits laboratory analogue to theoretical black hole radiation”. Sci. Am.

[4] Charlie Rose: A conversation with Dr. Stephen Hawking & Lucy Hawking

[5] A Brief History of Time, Stephen Hawking, Bantam Books, 1988.

[6] Majumdar, Parthasarathi (1998). “Black Hole Entropy and Quantum Gravity”. ArXiv: General Relativity and Quantum Cosmology. arXiv:gr-qc/9807045. Bibcode: 1999InJPB..73..147M.

[arxiv.org-7] ttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0702006 No hair theorems for positive Lambda

[8] :10.1016/0370-2693(96)00345-0
これはおそらく他の言語版からコピーされた出典です。日本語版では副テンプレートはまだ作成されていません。テンプレートページを開いて該当言語版からコピーする必要があります。通常英語版ページ

[9] See List of loop quantum gravity researchers

[Rovelli1996-10] Rovelli, Carlo (1996). “Black Hole Entropy from Loop Quantum Gravity”. Physical Review Letters 77: 3288–3291. arXiv:gr-qc/9603063. Bibcode: 1996PhRvL..77.3288R. doi:10.1103/PhysRevLett.77.3288.

[Ashtekar1997-11] Ashtekar, Abhay; Baez, John; Corichi, Alejandro; Krasnov, Kirill (1998). “Quantum Geometry and Black Hole Entropy”. Physical Review Letters 80 (5): 904–907. arXiv:gr-qc/9710007. Bibcode: 1998PhRvL..80..904A. doi:10.1103/PhysRevLett.80.904.

[Bianchi2012-12] Bianchi, Eugenio (2012). Entropy of Non-Extremal Black Holes from Loop Gravity. arXiv:gr-qc/1204.5122.

[High_Energy_Physics_-_Theory-13] Supersymmetry as a Cosmic Censor Authors: Renata Kallosh, Andrei Linde, Tomás Ortín, Amanda Peet, Antoine Van Proeyen http://arxiv.org/abs/hep-th/9205027

[14] For an authoritative review, see Ofer Aharony, Steven S. Gubser, Juan Maldacena, Hirosi Ooguri and Yaron Oz (2000). “Large N field theories, string theory and gravity”. Physics Reports 323: 183–386. arXiv:hep-th/9905111. Bibcode: 1999PhR...323..183A. doi:10.1016/S0370-1573(99)00083-6. (Shorter lectures by Maldacena, based on that review.

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