量子渦

量子渦（りょうしうず、英: quantum vortex）とは、超流動や超伝導において現れる位相欠陥である。

量子渦の存在は、1940年代後半、超流動ヘリウムに関してラルス・オンサーガーによって初めて予言された。オンサーガーは量子渦の存在が超流動の循環を記述することを指摘し、超流動相転移が渦の励起を引き起こすことを予想した。オンサーガーによるこれらの考えは、1955年にリチャード・P・ファインマンによってさらに拡張され、1957年にはアレクセイ・アブリコソフによって、第二種超伝導体の相転移を説明するため用いられた。

1950年代後半には、W. F. Vinenが超流動ヘリウム4中に振動するワイヤを張ることで、量子渦を実験的に観測することに成功し、後に、第二種超伝導体や冷却原子気体のボース＝アインシュタイン凝縮においても観測されている。

超流動における量子渦は、循環の量子化に対応し、超伝導における量子渦は、磁束の量子化に対応する。

超流動における渦

超流動における量子渦は、超流動体内部においても超流動状態になっていない「穴」として存在し、渦の中心を軸とした周囲に沿って超流動体は回転して流れている。渦の太さは流体の種類によって異なり、渦芯の太さはヘリウム4において10⁻¹⁰ m(1 Å)、ヘリウム3において10⁻⁷ mのオーダーである。超流動ヘリウム4における量子渦は比較的単純な構造をしており、渦の中心は秩序変数の特異点として表せる。

超流動の性質は、系の秩序変数である巨視的波動関数によって与えられる位相から決定される。特に、超流動の速度場は位相φの勾配に比例する。

${\boldsymbol {v}}_{s}={\frac {\hbar }{m}}\nabla \phi$

ここで、$\hbar$は換算プランク定数、mは超流動として流れる粒子（ヘリウム原子など）の質量、∇はナブラである。超流動の速度場が決まれば、流体中で、ある閉曲線に沿った循環が定義できるが、もし閉曲線に囲まれた領域が単連結であるなら、ストークスの定理と$\nabla \times {\boldsymbol {v}}_{s}\propto \nabla \times (\nabla \phi )={\vec {0}}$を用いれば、循環はゼロとなる。これより、超流動は渦を持たないポテンシャル流になっていると考えられる。しかし、実際には、閉曲面の中に「渦」のような超流動体の存在しない小さな領域がある場合、閉曲線Cに沿った循環

$\oint _{C}{\boldsymbol {v}}_{s}\cdot \,d{\boldsymbol {l}}={\frac {\hbar }{m}}\oint _{C}\nabla \phi \cdot \,d{\boldsymbol {l}}={\frac {\hbar }{m}}\Delta \phi$

はゼロにはならない。ここで、Δφは閉曲線に沿って一周したときの波動関数の位相差である。一般に、波動関数は閉曲線に沿って一周した後に同じ値に戻らなければならないから、可能な位相差は2πの整数倍（Δφ＝2πn）となる。ここで、nは任意の整数である。このように、超流動状態における循環は、

$\oint _{C}{\boldsymbol {v}}_{s}\cdot \,d{\boldsymbol {l}}={\frac {2\pi \hbar }{m}}n$

と量子化される。このときの量子化の単位$2\pi \hbar /m=h/m$は、循環量子(quantum of circulation)と呼ばれる。実際には、n≧2の渦の生成はn=1の渦の生成と比べてエネルギー的に不安定となるため、超流動体はn=1の渦のみが存在する系となる。

超伝導における渦

超伝導の性質の一つであるマイスナー効果は、超伝導体内部に侵入しようとする外部磁場を排除する現象である。しかし、外部磁場が十分に強くなり臨界磁場を超えたとき、超伝導状態は壊れて磁場の侵入を許すことになる。特に、第二種超伝導体においては、部分的に量子渦の格子を作り、その内部に磁束を通すことでエネルギー的に安定となる。これが超伝導体における磁束の量子化である。

閉曲面Sの上での、磁束は

$\Phi =\int _{S}{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {\hat {n}}}\,dS=\oint _{\partial S}{\boldsymbol {A}}\cdot d{\boldsymbol {l}}$

と書ける。ここで、${\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}$は磁束密度、${\boldsymbol {A}}$はベクトルポテンシャル、${\boldsymbol {\hat {n}}}$は面積要素Sに対する法線ベクトルであり、2つ目の等式ではストークスの定理を用いている。上式の${\boldsymbol {A}}$を超伝導電流密度${\boldsymbol {j}}_{s}=-{\frac {n_{s}e_{s}^{2}}{m}}{\boldsymbol {A}}-{\frac {n_{s}e_{s}\hbar }{m}}{\boldsymbol {\nabla }}\phi$を用いて書き換えると、

$\Phi =-{\frac {m_{s}}{n_{s}e_{s}^{2}}}\oint _{\partial S}{\boldsymbol {j}}_{s}\cdot d{\boldsymbol {l}}+{\frac {\hbar }{e_{s}}}\oint _{\partial S}{\boldsymbol {\nabla }}\phi \cdot d{\boldsymbol {l}}$

となる。ここで、n_s、m_s、e_sは、それぞれ、超伝導のキャリア（通常はクーパー対）の数密度、質量、電荷であり、∇φは巨視的波動関数の位相の勾配である。もし、領域Sが十分大きく、第1項が無視できるとき、波動関数の可能な位相差は2πの整数倍（Δφ＝2πn）となるから、磁束は

$\Phi ={\frac {\hbar }{e_{s}}}\oint _{\partial S}{\boldsymbol {\nabla }}\phi \cdot d{\boldsymbol {l}}={\frac {\hbar }{e_{s}}}\Delta \phi ={\frac {2\pi \hbar }{e_{s}}}n$

と量子化される。クーパー対の電荷e_sを電子の電荷eに直すと、量子化の単位は$2\pi \hbar /e_{s}=h/e_{s}=h/2e$となる。これは、磁束量子(magnetic flux quantum)と呼ばれ、およそ2.068×10^-15 Wbという値が知られている。

関連項目

• 渦
• 量子乱流
• ベレジンスキー＝コステリッツ＝サウレス転移