位相欠陥

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数学、物理学における位相欠陥(いそうけっかん、トポロジカルソリトンと呼ばれることもある)とは、ホモトピー非同値な境界条件の存在に起因する偏微分方程式場の量子論の解のことである。

位相欠陥は、通常、微分方程式において保たれる非自明なホモトピー群によって特徴づけられる境界条件によって生じる。 微分方程式のこれらの解は、トポロジカルに異なり、その違いはホモトピー類により分類される。

位相欠陥は摂動に対して安定なだけでなく、崩壊したりすることはない。 数学的な言葉でいえば、連続変形により(ホモトピー的に)自明な解に移ることはないということである。

位相欠陥の例として、可解系におけるソリトン(孤立波)や、結晶材料におけるらせん転位、場の量子論におけるWess-Zumino-Witten模型のスキルミオンなどがある。

位相欠陥は、物性物理学における相転移を導出するとされておれている。代表的な例は、液晶におけるらせん転位や刃状転位、超伝導における磁束管状フラックス(magnetic flux tube)、超流動における渦などのラムダ転移英語版(Lambda transition)を持つユニバーサリティクラスの系に見られる。

位相欠陥の信憑性は、無限時間が経過した時に系がとろうとしている真空の信憑性に依存していて、欠陥が偽の真空(false vacuum)と真の真空(true vacuum)であるかにより、偽の位相欠陥か真の位相欠陥かを区別することができる.

宇宙論における位相欠陥[編集]

いくつかの種類の大統一理論では、初期宇宙における位相欠陥の生成が予言される。 ビッグバン理論によると、宇宙が冷える過程で相転移が何度か起こるとされる。 宇宙論における位相欠陥は、宇宙初期に起こる相転移に関していくつかの理論的で予言される安定な配位として現れる。

対称性の破れ[編集]

初期宇宙では、対称性の破れ方によって決まる様々なソリトンが、ヒッグス機構に伴って生成されると考えられている。よく知られたものには、モノポール宇宙ひも、ドメインウォール、スキルミオン、テクスチャーがある。

宇宙が膨張し、冷えていく過程で、物理法則の対称性の破れの起こる領域は光速で広がっていくが、対称性の破れた相にある別の領域が互いに接触するとき、その間に位相欠陥が生成されることがある。 周囲の対称性が破れた後でも、位相欠陥の上では元の対称性が破れずに保たれる。

位相欠陥の種類[編集]

相転移の際に破れる対称性や、相転移後のスカラー場(ヒッグス場)のポテンシャルの真空構造のホモトピー的な性質により、以下のような位相欠陥が考えられる。

  • ドメインウォール:真空のなす空間が連結でないとき、離散的な対称性が破れ、領域により異なる真空が選ばれる。異なる真空にある領域の間に形成されるのがドメインウォールである。これらの壁は、泡のように宇宙を分離する。
  • 宇宙ひも:真空のなす空間が単連結(閉じたループを連続変形で1点に潰すことができる)ではない場合、対称性の破れにともなって1次元的に伸びたひも状の物体が形成される。
  • モノポール:真空のなす空間内に連続変形で1点に潰すことができない球面 S 2 が存在するとき、対称性の破れにともなって、点状の物体が形成される。この物体は磁荷を持つと予言されている。(磁気単極子とも呼ばれる)
  • テクスチャー:よりも大きくより複雑な対称性[どれ?] の破れに伴い形成される。テクスチャーは、他の位相欠陥のように局在化するわけではなく、不安定である。これらの位相欠陥の、もっと複雑な組み合わせも可能である。

観測[編集]

宇宙論で考えられるような位相欠陥は、超高エネルギー現象であり、地球上での実験で作り出すことは不可能であるが、初期宇宙に生成されたものは理論的には観測可能であるとされる。

しかし、現在のところ、そのようなものは観測されておらず、ある種類の位相欠陥については、観測事実と矛盾する。特に、ドメインウォールやモノポールは、もし存在するならば、観測事実とは大きく違った結果[どれ?] を導くことになる。よって、宇宙の観測可能な範囲では、特別な環境が必要となるため、これらの生成が極度に制限され、理論は棄却される(宇宙のインフレーションも参照)。これに対し、宇宙ひもは、宇宙の大規模構造の形成に関わる宇宙初期の重力源として提唱されてきた。同様に、テクスチャーも観測事実と矛盾しない。2007年の終わり頃、WMAPコールドスポットは、その方向にテクスチャーが存在していることの兆候であるとの解釈が提唱された。[1]

凝縮系物性論[編集]

二軸液晶英語版の中の安定欠陥のクラス

凝縮系物性物理学では、ホモトピー群の理論が秩序系の分類と記述の自然な設定を提供する。[2] トポロジカルな方法は、凝縮系物性論のいくつかの問題で使われてきた。ポエナル(Poénaru)とトゥールーズ(Toulouse)はトポロジカルな方法を使い、互いにもつれ合うことなく液晶の中で線(ストリング)欠陥ができる条件を得た。このことはトポロジーの非自明な応用であり、最初、超流動ヘリウム-3の A-フェーズの中の特別な流体力学的な振舞いの発見を導いた。[2]

分類[編集]

秩序づけられた媒体(ordered medium)は、秩序パラメータへ領域のすべての点を対応させる函数 f(r) で記述された領域として定義され、秩序パラメータがとりうる値が秩序パラメータ空間である。(トポロジカルな)欠陥のホモトピー理論は、媒体の秩序パラメータ空間の基本群を使い、媒体の中の位相欠陥の存在、安定性、分類を議論する。[2]

R を媒体の秩序パラメータ空間とし、G を R 上の変換のリー群とする。H を G の対称部分群とすると、秩序パラメータ空間は、リー群の商 R=G/H として記述することができる。[3]

G が G/H の普遍被覆とすると、πn (G/H)=πn-1 (H) であることが示すことができる。ここに πi は i-番目のホモトピー群である。[3]

媒体の中の様々な欠陥のタイプは、秩序パラメータ空間の様々なホモトピー群の元で特徴づけることができる。例えば、(3次元では)線欠陥は、π1 (R) の元に対応し、点欠陥は π2 (R) の元に対応し、テクスチャーは π3 (R) に対応する。しかし、同じ π1 (R) の共役類に属する元は、互いに変形して移り合うことができ[2]、従って、異なる欠陥は異なる共役類に対応する。

ポエナルとトゥールーズは、交叉する欠陥がもつれ合うことと、それらが π1 (R) の別な共役類に属する元であることとは同値であることを示した。[4]

安定欠陥[編集]

ホモトピー論は、位相欠陥の安定性に深く関係している。線欠陥の場合は、閉じた経路が一点に連続変形可能であれば、欠陥は安定ではなく、連続変形不可能な場合は安定である。

宇宙論や場の理論とは異なり、凝縮系物性論での位相欠陥は、実験的に観察可能である。[5] 強磁性を持つ(ferromagnetic)物質は、ドメインウォールにより分割された磁気的整列する領域を持つ。液晶や二軸液晶は、モノポール、ストリング、テクスチャーなどを含む多くのタイプの位相欠陥を持っている。[2] 位相欠陥は、タンパク質の折れ曲がる過程などの、生化学の分野でも見つかっている。

[編集]

1+1次元時空上での \mathcal{L} = \partial_\mu\phi\partial^\mu\phi - (\phi^2 - 1)^2 の静的な解
速度 ±sinh(0.05) でソリトンと反ソリトンが衝突、対消滅する様子

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Cruz, M.; N. Turok; P. Vielva; E. Martínez-González; M. Hobson (2007). “A Cosmic Microwave Background Feature Consistent with a Cosmic Texture”. Science 318 (5856): 1612–4. arXiv:0710.5737. Bibcode 2007Sci...318.1612C. doi:10.1126/science.1148694. PMID 17962521. http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/1148694 2007年10月25日閲覧。. 
  2. ^ a b c d e Mermin, N. D. (1979). “The topological theory of defects in ordered media”. Reviews of Modern Physics 51 (3): 591. Bibcode 1979RvMP...51..591M. doi:10.1103/RevModPhys.51.591. 
  3. ^ a b Nakahara, Mikio (2003). Geometry, Topology and Physics. Taylor & Francis. ISBN 0-7503-0606-8. 
  4. ^ Poénaru, V.; Toulouse, G. (1977). “The crossing of defects in ordered media and the topology of 3-manifolds”. Le Journal de Physique 38 (8). 
  5. ^ Topological defects”. Cambridge cosmology. 2013年10月19日閲覧。

外部リンク[編集]