循環 (流体力学)

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連続体力学
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流体力学における循環 (じゅんかん、: circulation) とは閉曲線上での流体速度線積分である。循環は Γ と表されることが多い。の強さを表し、非粘性バロトロピック流体保存外力下では流れにそって保存する。

閉曲線 C に沿った循環 Γ は、流体の速度を v 、曲線の微小線要素ベクトルを dl として、線積分


{\it\Gamma}=\oint_{C} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}

で表せる[1]

循環と渦度[編集]

ストークスの定理によって、循環は渦度と以下のように関連付けされる。

\begin{align}
{\it\Gamma} 
&=\oint_{C} \boldsymbol{v}      \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}\\
&=\int_S    \boldsymbol{\omega} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
\end{align}

ただし、積分経路 C は閉曲線であるだけでなく、面積要素 S の境界 C = ∂S でなければいけない。ここで

\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\boldsymbol{v}

は渦度である。

循環と渦定理[編集]

以下の定理が成り立つ。

「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦管は渦管として行動し、かつ、その強さは一定不変である[2]

循環と揚力[編集]

フレデリック・ランチェスターマーティン・ウィルヘルム・クッタ英語版、そして、ニコライ・ジュコーフスキーらがそれぞれ独立に、循環の概念を使って揚力を説明した[3]

非粘性流体の2次元非回転非圧縮流れにおいて、水平方向( x 方向)に一様な速度 U の流れを考える。奥行き方向単位長さあたりの物体にかかる力の鉛直成分( y 成分)、すなわち、揚力 L は物体を囲む閉曲線に沿った循環 Γ と流体の密度 ρ とを使って


L = -\rho U {\it\Gamma}

で表される。これはクッタ・ジュコーフスキーの定理と呼ばれる[3]

関連項目[編集]

出典[編集]

  1. ^ a b 巽友正 『流体力学』 培風館、1982年 4月15日初版発行。ISBN 456302421X
  2. ^ a b 今井功 『流体力学(前編)』 裳華房、1973年11月25日発行。ISBN 4785323140
  3. ^ a b P.K. Kundu; I.M. Cohen; D.R. Dowling (2011). Fluid Mechanics Fifth Edition. Academic Press. ISBN 0123821002.