素数階乗

階乗（黄色）と素数階乗（赤）の値の推移

素数階乗（そすうかいじょう）とは、2 以上の自然数に対してそれ以下の素数全ての総乗のことである。自然数 n の素数階乗は、記号では n# で表す。

2# = 2

3# = 3 × 2 = 6

4# = 3# = 6

5# = 5 × 3# = 30

6# = 5# = 30

これらから分かるように n# は、 n 以下の最大の素数を p として、p# に等しい。p に素数の値を小さい順に代入していくことより、素数階乗の値は小さい順に

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, …(オンライン整数列大辞典の数列 A002110)

数学的性質

• 5# 以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1,3,7,9 のいずれかに限られる。
• 素数が無数に存在することの証明に用いられることがある。

証明：最大の素数の存在を仮定し、それを p_max とおくと、p_max# + 1 は p_max 以下の素数で割り切れない。仮定より p_max# + 1 未満の素数は以上で全てなので p_max# + 1 は 1 と自分自身以外の因数を持たないことが言える。したがって p_max# + 1 は素数でなければならないことになるが、これは p_max を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。（証明終）

実際には、素数 p に対する p# + 1 は素数であることもあれば、合成数であることもある。素数である例としては 11# + 1 = 2311 などが、合成数である例としては 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 などがある。いずれにせよ、p# + 1 の素因子は全て p よりも大きい。

• 全ての高度合成数は素数階乗数の累乗数の積で表される。

720 = 2² × 6¹ × 30¹

素数階乗数の最初の二十個

p₀₁# = 02# = 2

p₀₂# = 03# = 6

p₀₃# = 05# = 30

p₀₄# = 07# = 210

p₀₅# = 11# = 2310

p₀₆# = 13# = 30030

p₀₇# = 17# = 510510

p₀₈# = 19# = 9699690

p₀₉# = 23# = 223092870

p₁₀# = 29# = 6469693230

p₁₁# = 31# = 200560490130

p₁₂# = 37# = 7420738134810

p₁₃# = 41# = 304250263527210

p₁₄# = 43# = 13082761331670030

p₁₅# = 47# = 614889782588491410

p₁₆# = 53# = 32589158477190044730

p₁₇# = 59# = 1922760350154212639070

p₁₈# = 61# = 117288381359406970983270

p₁₉# = 67# = 7858321551080267055879090

p₂₀# = 71# = 557940830126698960967415390

関連項目

• 階乗
• 階乗素数
• 素数階乗素数