ノート:素数階乗

素数が無数に存在することの証明について

p_max# + 1 が実際に素数になるか否か等はリンク先に十分な記述があるのでここでは略証だけで十分かと思います。とはいえ消す前に確認したいことがあります。 背理法云々は横において、「～～数が有限個なら有限の最大の～～数がある、よってそれを p_max と表そう」から始まる証明の流儀って紀元前からあったのでしょうか？ --Dummy index（会話） 2019年6月29日 (土) 15:41 (UTC)

ない、ということを証明はできませんが、少なくとも文献に残る形ではなかったと私は考えています。ご指摘の点の他にも気になるところがあったので、いろいろ修正しました。読者の便宜のためには、リンク先と記述が重複していても構わないと思うのですが、消すことにも反対はしません。--白駒（会話） 2019年6月30日 (日) 00:29 (UTC)

修正ありがとうございます。簡潔に正確に書かれていれば問題ないと思います。ところで個人的に証明の論理を少し変更してしまいました。（√p_max# + 1 以下の素数で割り切れないことを示す必要があるところで p_max を超える素数がないことを使っているのに、結論が『素数であることになる』ってなんやねん、ってつっこみが循環気味ですが）--Dummy index（会話） 2019年6月30日 (日) 09:47 (UTC)

算術の基本定理の証明は結構難しいので、そのようなものを持ち出すくらいならば、元の議論の方がまだましだったと思います。--白駒（会話） 2019年6月30日 (日) 11:55 (UTC)

失礼しました。話を大きくしすぎということですね。改めて元のバージョンに説明不足に感じるところを補ってみましたが…

証明：最大の素数の存在を仮定し、それを pmax とおくと、pmax# + 1 は pmax 以下の約数をもたない。素数で割り切れない。仮定より pmax# + 1 未満の素数は以上で全てなので pmax# + 1 は 1 と自分自身以外の因数を持たないことが言える。したがって pmax# + 1 は素数であることになるが、これは結局のところ pmax を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。（証明終）

冗長過ぎますか？--Dummy index（会話） 2019年6月30日 (日) 13:32 (UTC)

算術の基本定理を持ち出すよりは、ずっとよいと思います。説明不足と感じられたのであれば、それを補うのもありでしょう。「結局のところ」を挿入する意味は私にはよく分かりませんが…。 --白駒（会話） 2019年6月30日 (日) 13:50 (UTC)

「結局のところ」は取りやめました。代わりに「素数であることになる」をもっと『仮の論証によるものだ』と強調したく「素数でなければならないことになる」とさせていただきました。同じ背理法でも『この系＋その主張という世界はどう爆発するか』と『この系の上でその主張はどう成り立ちようがないか』ではだいぶ気分が違うので。いや普段はここまで気にしないのですが--Dummy index（会話） 2019年7月2日 (火) 16:33 (UTC)