等差数列

数学における等差数列（とうさすうれつ、英: arithmetic progression, arithmetic sequence; 算術数列）とは、「隣接する項が共通の差（公差）を持つ数列」(sequence of numbers with common difference) を言う。

例えば、5, 7, 9, 11, 13 … は初項 5, 公差 2 の等差数列である。同様に、1, 7, 13, 19, 25 … は公差 6 の等差数列である。

算術数列の初項を a₁ とし、その公差を d とすれば、n-番目の項 a_n は

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$$

であり、一般に

$$a_{n}=a_{m}+(n-m)d$$

と書くことができる。

有限個の項しか持たない算術数列は有限算術数列とよび、初等数学ではしばしばそれを単に等差数列と呼ぶ。有限算術数列の和は算術級数 (arithmetic series) と言う。

算術数列の振る舞いは公差 d に依って決まる:

• d が正ならば、数列の項は正の無限大に発散する。
• d が負ならば、数列の項は負の無限大に発散する。

総和

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

和 2 + 5 + 8 + 11 + 14 の計算。もとの数列を逆順にした数列を用意して、もとの数列と項ごとに加えると、得られる数列は同じ一つの値を繰り返す（その値はもとの数列の初項と末項の和）。ゆえに、2 + 14 = 16, 16 × 5 = 80 が求める和の二倍に等しい。

「無限算術級数」も参照

等差数列の総和を等差級数と言い、通例有限算術数列の和を算術級数と言う。公差 d の等差数列の n 個の項 a₁, a₂, ..., a_n の総和は、

$$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}$$

と表される。この種の式は、ピサのレオナルド（一般にはフィボナッチとして知られる）が記した『算盤の書』（"Liber Abaci"; 1202年, ch. II.12）に登場する。よく聞かれる伝承として、カール・フリードリヒ・ガウスがこの式を再発見した話がある。彼が3年生のときに、教師J. G. Bütnerが生徒たちに1から100までの合計を求めさせたところ、彼は即座に答(5050)を出したため、Bütner と助手のMartin Bartels）がいたく驚いた、というものである。

GIF動画: 自然数の和 1 + 2 + ⋯ + n を求める公式の導出

導出

等差数列の総和を順番を変えて

$${\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{1}\color {green}+(a_{1}+d)\color {blue}+(a_{1}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{1}+(n-1)d)\\[5pt]S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-(n-1)d)\end{aligned}}$$

と二通りに表し、両辺を項ごとに足し合わせる。すると右辺では各項で d を含む成分がすべて相殺されて初項と末項の和だけが残り、それが n 項続いて 2S_n = n(a₁ + a_n) となる。両辺を 2 で割れば

$$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}$$

を得る。

そして等差級数の平均値 S_n/n は、明らかに (a₁ + a_n)/2 である。499年に、インド数学・天文学古典期の傑物数学・天文学者であるアーリヤバタは、Aryabhatiya (section 2.18) でこのような方法を与えている。

総乗

初項 a₁ で、公差 d である総項数 n の等差数列に対して、項を全て掛け合わせた総乗

$${\begin{aligned}P_{n}:=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}&=a_{1}\cdot (a_{1}+d)\cdot (a_{1}+2d)\cdot \dotsb \cdot (a_{1}+(n-1)d)\\&=d{\frac {a_{1}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)\cdot d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdot \cdots \cdot d\left({\frac {a_{1}}{d}}+n-1\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}$$

（$x^{\overline {n}}$ は上昇階乗冪）はガンマ関数 Γ を用いて

$$P_{n}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}}$$

という閉じた式によって計算できる（ただし、a₁/d が負の整数や 0 となる場合は、式は意味を持たない）。Γ(n + 1) = n! に注意すれば、上記の式は、1 から n までの積 1 × 2 × ⋯ × n = n! および正の整数 m から n までの積 m × (m + 1) × ⋯ × (n − 1) × n = n!/(m − 1)! を一般化するものであることが分かる。

算術数列の共通項

任意の両側無限算術数列が二つ与えられたとき、それらに共通に表れる項を（項の前後関係は変えずに）並べて与えられる数列（数列の「交わり」）は、空数列であるか別の新たな算術数列であるかのどちらかである（中国の剰余定理から示せる）。両側無限算術数列からなる族に対し、どの二つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限算術数列の族はヘリー族である。しかし、無限個の無限算術数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。

関連項目

• 線型差分方程式
• 算術⋅幾何数列: (算術数列)×(幾何数列)-形の数列
• 一般化算術数列: 算術数列の構成を複数の差を用いて行ったもの
• 調和数列
• 三辺が算術整数列を成すヘロン三角形
• 算術数列を含む問題
• Utonality
• 等比数列
• 算術級数定理

参考文献

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8 

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Arithmetic Progression". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic Series". mathworld.wolfram.com (英語).
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Arithmetic progression”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Arithmetic_progression 
• arithmetic progression - PlanetMath.（英語）
• Definition:Arithmetic Progression at ProofWiki
• Sum of Arithmetic Progression at ProofWiki