調和数列

調和数列（ちょうわすうれつ、英: harmonic sequence または harmonic progression）とは、各項の逆数をとると等差数列になる数列である。すなわち、零でない数からなる数列 $(a_{n})$ が調和数列であるとは、その逆数列 $\left({\frac {1}{a_{n}}}\right)$ が等差数列であることをいう。

定義

数列 $(a_{n})$ の各項が 0 でなく、

${\frac {1}{a_{n+1}}}-{\frac {1}{a_{n}}}=d$

を満たすとき、$(a_{n})$ は調和数列である。ここで $d$ は一定であり、逆数列の公差に当たる。したがって、ある定数 $\alpha$, $d$ を用いて

${\frac {1}{a_{n}}}=\alpha +(n-1)d$

と表すことができる。

一般項

上の定義から、調和数列の一般項は

$a_{n}={\frac {1}{\alpha +(n-1)d}}$

の形に書ける。ただし、分母が 0 になる項は定義できないので、そのような添字は除かなければならない。特に

$1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots$

は、逆数列

$1,2,3,4,\dots$

が等差数列であるから、最も基本的な調和数列の例である。

性質

調和数列は一般には等差数列でも等比数列でもないが、逆数をとると等差数列になるため、等差数列の性質を逆数を通じて読み替えることができる。特に、連続する3項 $a,b,c$ が調和数列をなすことと、

${\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}$

が等差数列をなすことは同値である。したがって

${\frac {2}{b}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}$

が成り立つ。

また、上式を変形すると

$b={\frac {2ac}{a+c}}$

となる。これは $b$ が $a$ と $c$ の調和平均であることを示している。したがって、調和数列では各項は隣接する2項の調和平均として特徴づけられる。

例

数列

$1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots$

は調和数列である。逆数列は

$1,2,3,4,\dots$

であり、公差 1 の等差数列である。

また、

$1,{\frac {2}{3}},{\frac {1}{2}}$

も調和数列である。実際、その逆数列

$1,{\frac {3}{2}},2$

は公差 ${\frac {1}{2}}$ の等差数列となる。これは音律における弦の長さの比の例としてしばしば挙げられる。

音律・幾何学との関係

「調和」という語は、古くから音楽と幾何学の双方で用いられてきた。音律においては、弦の長さや振動数の比が単純な整数比で表される場合が重視され、その説明の中で調和数列が現れることがある。また幾何学では、調和分割や調和比などの語に同じ語源が残っている。

ただし、調和数列そのものと調和級数は別概念である。調和級数は

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

で定まる級数であり、調和数列 $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots$ の各項を加えたものである。

参考文献

• “Harmonic sequence”. Encyclopaedia Britannica. 2026年3月6日閲覧。
• “Harmonic Progression”. Brilliant Math & Science Wiki. 2026年3月6日閲覧。
• “What's Harmonic about the Harmonic Series?”. College of the Holy Cross. 2026年3月6日閲覧。
• “Harmonic Series”. Wolfram MathWorld. 2026年3月6日閲覧。

関連項目

• 数列
• 等差数列
• 等比数列
• 調和平均
• 調和級数
• ピタゴラス音律