調和数列

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調和数列(ちょうわすうれつ、harmonic sequence または harmonic progression)とは、各項の逆数を取ると等差数列となる数列である。ピタゴラス音律では、ドの弦の長さを 1 とすると、ソは 2/3、1オクターブ高いドは 1/2 の長さになる。各項の逆数はそれぞれ 1, 3/2, 2 となり、公差が 1/2 の等差数列となる。よって、1, 2/3, 1/2 は調和数列である。

一般項と漸化式[編集]

調和数列とは、一般項 hna を初項とし定数 d を用いて

と表せる数列 {hn} のことである。ここで 1/d は自然数でないとする。このとき、a は初項である。各項は隣接する2項の調和平均になっている(調和中項)。調和数列の極限は 0 である。例としては、

などが挙げられる。

n 番目の項と m 番目の項の関係を表す漸化式

である。

この数列の隣接2項間漸化式は

である。

調和数列の項の積[編集]

一般項 , 項数 n の調和数列 {hn} 総乗

で表される。ここで、 は上昇階乗冪x から 1 ずつ増やしながら x + n − 1 までの n 個の総乗(階乗の類似物)、Γガンマ関数を表す。

調和数列の逆数和[編集]

調和数列は各項の逆数を取ると等差数列になることから、等差数列の関係から調和数列の関係を得ることができる。

一般項 , 項数 n の調和数列 {hn} の全ての項の逆数和は、次の式で表される。

調和数列の級数[編集]

調和数列の級数は一般調和級数

になる。これは発散級数である。