2の自然対数

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2の自然対数(にのしぜんたいすう)は、自然対数関数 log xx = 2 での値であり、

log 2

と表記する。2の常用対数との混同を避けるためを明記すれば loge 2、自然対数の記号で表せば ln 2 となる。log 2 は正の実数であり、その値は

log 2 = 0.693 147 180 559 945 309 417 232...

である。この数は超越数であるため、代数方程式の解にはならない。連分数表記では

log 2 = [0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, ...]

となる。また、この数は、核反応化学反応において物質濃度半減期を求める際に現れる数である。

定義[編集]

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... という級数の部分和(黒線)が log 2(赤線)に収束する様子

ネイピア数 e を底とした複素数 x変数とする対数関数 log xx = 2 のときにとる値が log 2 である。対数関数は指数関数逆関数であるので、

ez = 2

を満たすただ一つの実数の zlog 2 である。

対数関数のテイラー展開

 \log (1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n+1}}{n} x^n \quad |x|<1

であるが、これに x = 1 を代入してよいと仮定すると

\log 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n+1}}{n} = 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots

となる。この級数は実際に log 2収束することが知られている(→交項級数)。

数学的性質[編集]

ディリクレイータ関数

\eta (s) = \sum_{n=1}^\infty \frac { (-1)^{n+1} }{n^s}

と定義されるので、上記のテイラー展開から、

η (1) = log 2

である。 また、log 2 は以下のような級数でも求められる。

 \log2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \cdot 2^n}
 \log 2 = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left( \frac {1}{3n+1} - \frac {1}{3n+2} + \frac {1}{3n+3} \right)
 \log 2 = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(-4)^n} \left( \frac{2}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} - \frac{1}{4n+4} \right)
 \log 2 = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(-27)^n} \left( \frac{3}{6n+1} - \frac{2}{6n+3} - \frac{1}{6n+4} \right)

さらに、\sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n+1}}{n} の第 N 項までの部分和と log 2 との差は以下のように表される。

\sum_{n=1}^N \frac{ (-1)^{n+1}}{n} - \log 2 = (-1)^N \left( \frac{1}{2N} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n T_n} {4^N N^{2n}} \right)

ここで、Tnn 番目のタンジェント数である。 積分では

\int _1^2 \frac{dx}{x} = \log 2

であるから、双曲線 y = 1/x直線 x = 1, x = 2 および y = 0x 軸)とに囲まれた図形面積log 2 である。 リンデマンの定理より log 2 は超越数であり、したがって無理数である。 log 2正規数かどうかは分かっていない。

その他の性質[編集]

反応速度[編集]

原子核反応や化学反応の速度は、反応物質の濃度に比例する場合が多い。この法則をもとに濃度の半減期を求めると、以下のように log 2 が現れる。

まず濃度を C反応速度定数k とおくと、C時間 t微分したものがこの場合の速度なので、

− dC / dt = kC

となる。濃度は単調減少するので、速度の符号は負であることに注意。ここで、

  • 初期条件として、t = 0 において C = C0
  • 境界条件として、t = τ(=半減期)において C = C0 / 2

を与えて定積分すると、

\int_{C_0}^{C_0/2} \frac{dC}{C} = \int_{0}^{\tau} -kdt
\log {\frac {C_0/2}{C_0}} = -k \tau

となり、

log 2 =

となる。すなわち、上記の微分方程式で表されるあらゆる反応において、log 2 は反応速度定数と半減期のになっている。

倍増期[編集]

複利計算での「倍増期」でも log 2 が現れる。まず、元金X (X > 0)、年利率r (r > 0) とし、n 年後に元利合計が2倍になるとすれば、

X (1+r )n = 2X

となる。この両辺の対数をとると

n log (1+r ) = log 2

となるので、「倍増期」n は以下のように求まる。

n = log 2 / log (1+r )

ここで、r ≪ 1(→ゼロ金利政策)と仮定すると log (1+r ) ≒ r近似できるので、

n ≒ (log 2) / r ≒ 0.7 / r

となる。すなわち「倍増期」の年数は、「0.7を年利で割った値」で近似できる。70をパーセント表示の年利で割った値ともいえる。たとえば、年利が2%ならば「倍増期」は 70÷2 で約35年となる。この法則は、70の法則(または72の法則)と呼ばれる。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]