連続の方程式

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連続の方程式(れんぞくのほうていしき、: equation of continuity、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う)は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。保存則と密接に関わっている。

狭義には流体力学における質量保存則

 
{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0
(ρは密度v は流れの速度t は時間である。∇はナブラを参照。)

あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した

 
\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0

を指す。

広義には、スカラー物理量 q についての保存則


    {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0
(ρ:q の密度、jq流束

を指し、更に一般化して、q輸送方程式(一般の保存則)


    {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = \sigma
(σ:q湧き出し密度)

を指すこともある。

広義の連続の方程式の導出[編集]

領域 Ω における物理量 q の総量 M の時間変化を q の生成と流出と合わせて図示したもの。代表点のみの軌跡を記している。青い点の個数はΩにおけるq の総量 M (t ) を表す。ピンクの点の個数は湧き出し Δt S を、黄色の点は流れだす流量 Δt J を表す。図より
\Delta M  +  \Delta t J = \Delta t S
(6-5)     +   3              = 4
が成り立つ事がわかる。

広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という[出典 1]q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。

q についての連続の式は、

領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量 {\mathrm{d}M\over\mathrm{d}t} と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量流量J とのは、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S等しい
{\mathrm{d}M\over\mathrm{d}t} + J = S

と表現できる。

ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 jq の湧き出し密度 σ を導入すると、


\begin{align}
    M &= \int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V\\ 
    J &= \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\ 
    S &= \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V  
\end{align}

と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。

これにより連続の式は


    {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}\int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V 
    + \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} 
    = \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V

となる。

ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると


    \int_\Omega \left\{
         {\partial\rho\over\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} - \sigma
     \right\}\mathrm{d}V
    = 0

となるので、微分形

{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = \sigma

が得られる。

特に、湧き出しがないときの連続の式

{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0

保存形、あるいは、q保存則の微分形と呼ぶ。

流体における連続の式[編集]

質量保存則[編集]

速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は


\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}

となる[出典 2]

質量保存則から連続の式は

{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right) = 0

となる。

輸送定理による導出[編集]

速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける[出典 1]


0= {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t} \int_{\Omega(t)}  \rho\, dV 
= \int_{\Omega(t)} \left(
{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v}
\right) dV

ここで、{D \over Dt}実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。

これより、

{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0

が成立する。

この式は、実質微分の定義


{D \over Dt}\equiv{\partial \over \partial t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla

と公式


\nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right)
=\rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} 
+ \boldsymbol{v}\cdot\nabla \rho

を使って、

 
{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0

と等価であることがわかる。

非圧縮性流体についての連続の方程式[編集]

連続の方程式

{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0

に対して、非圧縮性流体の性質(密度が一定であること)を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である[出典 2]。つまり、\frac{D \rho}{D t} = 0 となるので、ρ≠ 0 であることから、


\nabla\cdot\boldsymbol{v}
 = 0

を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。

この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。

電磁気学における連続の方程式[編集]

電荷保存則[編集]

電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である[出典 3]。ρ を電荷密度j電流密度とすれば、連続の式は


    {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0

となる。

変位電流[編集]

マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式


\nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}

変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式


\nabla \times \boldsymbol{H} = {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \boldsymbol{j}

において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、


\nabla \cdot {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0

となり、ガウスの式


\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho

を代入することで連続の式が得られる。

四元電流[編集]

電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 Jμ (μ= 0, 1, 2, 3) を


    J^\mu = \left(c \rho, \boldsymbol{j} \right)

と表す。ここで c光速である。微分演算子


    \partial_\mu = \left(\frac{1}{c} {\partial \over \partial t} , \nabla \right)

を定義すると、連続の式は


    \partial_\mu J^\mu = 0

と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。

量子力学[編集]

量子力学における連続の式は確率の保存則を表す[出典 4]

Ψ(r , t ) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 j


\begin{align} 
\rho &= \Psi^{*} \Psi\\
\boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2m\mathrm{i}} \left [ 
  \Psi^{*}  \nabla \Psi  - \Psi      \nabla \Psi^{*} 
\right ]
\end{align}

と定義すると、シュレディンガー方程式

    
\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} =  -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi

を用いて、確率に対する連続の式


    {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0

が得られる。

拡散方程式 [編集]

ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える[出典 5]。このとき、経験則であるフィックの法則(フィックの第一法則)により流束は


\boldsymbol{j}= -\kappa \nabla \rho

と密度の勾配で与えられる。κ は [\mathrm{L}^2\mathrm{T}^{-1}]次元をもつ量で拡散係数と呼ばれる。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式


{\partial \rho \over \partial t} = \kappa \nabla^2 \rho

が得られる。

参考文献[編集]

  1. ^ a b 中村育雄 『流体解析ハンドブック』 (初版) 共立出版、1998年3月20日ISBN 4320081188 
  2. ^ a b 巽友正 『新物理学シリーズ21 流体力学』 培風館、1995年9月ISBN 456302421X 
  3. ^ 砂川重信 『理論電磁気学』 (3版) 紀伊國屋書店、1999年9月ISBN 4314008547 
  4. ^ メシア; 小出昭一郎、田村二郎訳 『量子力学1』 (1版) 東京図書、1971年6月15日ISBN 4489012438 
  5. ^ 戸田 盛和; 斎藤 信彦; 久保 亮五; 橋爪 夏樹 『岩波講座 現代物理学の基礎 統計物理学』 (新装版) 岩波書店、2011年11月26日ISBN 4000298054