軌道角運動量

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軌道角運動量(きどうかくうんどうりょう、英語: orbital angular momentum)とは、特に量子力学において、位置とそれに共役な運動量の積で表される角運動量のことである。

例えば原子の中で電子は、原子核が周囲に作る軌道を運動する。電子の全角運動量のうち、電子がその性質として持つスピン角運動量を除く部分が軌道角運動量である。

概要[編集]

定義[編集]

軌道角運動量演算子は以下のように定義される[1](p98)

定義に至る背景[編集]

この定義は、古典力学における角運動量の定義

において、位置 x と運動量 p を形式的に位置演算子

(「x」は x を乗じる事を意味する)と運動量演算子の組

に置き換える事で得られたものである。

一般化[編集]

より一般に、3次元空間の単位ベクトル n=(n1,n2,n3) に対し、内積

n を回転軸とする軌道角運動量演算子という。

性質[編集]

交換関係[編集]

と表記すると、軌道角運動量は以下の交換関係を満たす:

ここで εijkエディントンのイプシロンである。特に最後の軌道角運動量同士の交換関係の形は角運動量代数と呼ばれている。

極座標表示[編集]

球面座標 (r, θ, φ) を用いると、^L

と書ける[1]:p98。 さらに球面座標表示した曲線 R(r)=(r,0,0)Θ(θ)=(0,θ,0)Φ(φ)=(0,0,φ) の原点における接線方向の単位ベクトルを ereθeφ とするとき、ereθeφ 方向の軌道角運動量演算子 ^Lr, ^Lθ, ^Lφ とすると、以下が成立する:

軌道角運動量の自乗[編集]

定義[編集]

軌道角運動量の自乗を

と定義する。

交換関係[編集]

この演算子は軌道角運動量の各成分と可換である:

極座標表示[編集]

極座標で書き表すと:

である[2]

ラプラシアンとの関係[編集]

実はこれはラプラシアンを極座標表示と関係がある。すなわちラプラシアンを極座標表示して

 

と動径方向と球面方向にわけると、

が成立する[3]

回転対称性との関係[編集]

波動関数の回転[編集]

3次元空間 R3 における回転行列全体の集合を

3次元実数係数行列で、

とし(ここでI単位行列であり、tRR転置行列である)、 回転行列 R ∈ SO(3) に対し、波動関数の全体の空間 上にユニタリ演算子

を定義すると[4]。、これは波動関数の「回転」とみなせる。

軌道角運動量演算子との関係[編集]

単位ベクトル n=(x,y,z) に対 し、Rn(s)n を軸として右手系に s ラジアンだけ回転する行列とすると、以下が成立する:

ここでn を回転軸とする軌道角運動量演算子である。

証明[編集]

本節ではz 軸の周りの軌道角運動量 ^Lzの場合のみ証明するがそれ以外の場合も同様である。

既に述べたように^Lz球面座標系 (r, θ, φ) を用いて

と表記できるので、任意の波動関数ψ に対し、ψを極座標表示すれば、

となり、主張が証明できた。

回転対称性からみた交換関係[編集]

Rn(s) の微分を計算すると、

となる。 関数 λ* を、

が任意の波動関数 ψSO(3) に値を取る任意の R(θ) に対して成立するよう定義する(詳細は省くがこのような関数はwell-definedに定義可能である)と、

が成立する事が知られている[5]。よって

すなわち軌道角運動量の交換関係は、Fn の交換関係から導かれたものである。

Fnは以下を満たす事が知られている[6]:p36。ここで「×」はクロス積である:

よって軌道角運動量の交換関係は

である。これは前の節で述べた交換関係と一致する。他の軸に関する軌道角運動量の交換関係も同様にして求めることができる。

球面調和関数[編集]

後の節で述べるように、軌道角運動量演算子の固有関数は球面調和関数で記述可能なので、本節ではその準備として、球面調和関数の定義と性質を述べる。

なお、球面調和関数の定義は数学と物理学とで異なるので、本節では両方の定義を紹介し、両者の関係も述べる。

数学における球面調和関数[編集]

3次元空間R3における多項式p

を満たすものを調和多項式といい、調和多項式p次の斉次多項式であるとき、 を球面

に制限したものを次の球面調和関数という。

物理学における球面調和関数[編集]

3次元空間 R3 の場合、R3球面座標 (r,θ,φ) で表す。下記の関数 (物理学における)球面調和関数という:

   …(B1)

ここで

mは整数で、   …(B2)

であり、ルジャンドルの陪多項式[7]

   …(B3)

である。すなわち ルジャンドルの陪微分方程式

の解である。なお の定義における係数は、後述する内積から定義されるノルムが 1 になるよう選んだものである。

2つの定義の関係[編集]

関数 f

と定義すると、f(を直交座標で書いたもの)は数学における次の球面調和関数になる。

また、pを数学における次の球面調和関数とすると、pの極座標は必ず

という形の線形和で書ける。

これらの事実の証明は球面調和関数の項目を参照されたい。

性質[編集]

3次元空間R3の球面座標 (r,θ,φ) に対し、

が成立する。そこで、R 上の関数 χ, ξ3次元空間 R3単位球面

 

上の2つの可積分関数 f, g に対し、内積を以下のように定義する:

このとき次の定理が成立する(定理の導出の詳細は球面調和関数の項目を参照)。

定理1 ― 球面調和関数は以下の性質を満たす:

定理2 ―  R3上の任意の自乗可積分関数f(x,y,z)に対し、 を満たす R 上の可積分関数の族

となるものが一意に存在する。

の固有関数[編集]

数学における球面調和関数pの固有関数である:

   …(A1)

ここでは球面調和関数pの次数である。なお、を動径方向の任意の自乗可積分関数とすると、上式から明らかに

であるので、の固有関数である。

既に述べたように数学における球面調和関数は物理学における球面調和関数の線形和で書けるので、定理2より、の固有関数は上述の形のものに限られる。

(A1)の証明[編集]

既に述べたようにラプラシアンの極座標表示は、

 

と動径方向と球面方向にわけると、

が成立するので[3]p次の球面調和関数とすると、

ベクトルxは動径方向

と球面方向

に分解でき、しかもp次の斉次多項式であるので、

の固有関数[編集]

に物理学における球面調和関数 を作用させると

定理1より

  • S2 上の面積要素 sin θ dθ dφ に関して規格化されている
  • は互いに直交いている

定理2より

  • ^Lz の任意の自乗可積分関数は球面調和関数を用いて固有値展開可能である

量子数[編集]

これまでの記述から分かるように

を満たすが存在し、必要ならを定数倍すれば、

が成立する。

軌道角運動量量子数(方位量子数)、m軌道磁気量子数という。前節で述べたように、

を満たす。

昇降演算子[編集]

定義[編集]

昇降演算子

により定義する。以下この2つを合わせて

と略記する。

性質[編集]

簡単な計算から交換関係

を満たすので、ψを固有値に対するの固有関数とすると、

なので、は固有値に対するの固有関数である。

すなわち、昇降演算子はに対応する固有関数をに対応する固有関数に移す。

よって特に

×(定数)

が成立する。

その他の性質[編集]

とするとT10:p211-212、交換関係

が成立することが簡単な計算から分かる。

証明[編集]

最後の式だけ確認すると、

for w=x, y, zとすると、
、 ここで
なので求めるべき式が従う。

参考文献[編集]

脚注[編集]

  1. ^ a b 原1994
  2. ^ 武藤11-14、p6
  3. ^ a b 武藤11-15 p13
  4. ^ H13 p396 Def 17.1、A07 p37。
  5. ^ 理由:λは準同型であり、λがリー環so(3)に誘導するリー環準同型がλ*であるのでλ*はリー括弧を保存する。
  6. ^ A07
  7. ^ 日本測地学会 2004

関連項目[編集]