球面座標系

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球面座標系

球面座標系(きゅうめんざひょうけい、英語: spherical coordinate system)とは、3次元ユークリッド空間に定まる座標系の一つで、一つの動径座標と二つの角度座標で表される極座標系である。第一の角度はある(通常は z-軸を選ぶ)と動径がなす角度で、第二の角度は、その軸に垂直平面にある別の軸(通常は x-軸を選ぶ)とこの平面への動径の射影がなす角度である。通常は動径座標に記号 r を用い、第一の角度座標には θ を、第二の角度座標には φ を用いて表される。動径座標は 0 ≤ r < ∞ の範囲にあり、第一の角度は 0 ≤ θ ≤ π の範囲にある。第二の角度の動く範囲は −π < φ ≤ π もしくは 0 ≤ φ < 2π のどちらかを用いることが多い。

座標変換[編集]

球面座標 (r,θ,φ) から直交直線座標 (x,y,z) への変換は

\begin{cases}
 x = r\sin\theta\, \cos\phi \\
 y = r\sin\theta\, \sin\phi \\
 z = r\cos\theta \\
\end{cases}

で与えられる。第二の角度座標を −π < φ ≤ π とする場合は、直交直線座標 (x,y,z) から球面座標 (r,θ,φ) への変換は

\begin{cases}
r =\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\
\theta =\arccos(z/\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \\
\phi =\sgn(y) \arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) \\
\end{cases}

で与えられる。ここで sgn符号関数

\sgn(y) =\begin{cases}
 1 & (y\ge0) \\
 -1 & (y<0) \\
\end{cases}

である。z-軸上 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため φ が定まらない。さらに原点 (x,y,z) = (0,0,0) においては θ も定まらない。

球面座標 (r,θ,φ) から直交直線座標 (x,y,z) への変換の式を微分すれば

\begin{cases}
 dx = \sin\theta\, \cos\phi\, dr +r\cos\theta\, \cos\phi\, d\theta -r\sin\theta\, \sin\phi\, d\phi \\
 dy = \sin\theta\, \sin\phi\, dr +r\cos\theta\, \sin\phi\, d\theta +r\sin\theta\, \cos\phi\, d\phi \\
 dz = \cos\theta\, dr -r\sin\theta\, d\theta\\
\end{cases}

が得られて、ヤコビ行列とヤコビ行列式は

\begin{align}
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)}
 &=\begin{pmatrix}
 \sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\sin\theta\, \sin\phi \\
 \sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\sin\theta\, \cos\phi \\
 \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
\end{pmatrix} \\
 &=\begin{pmatrix}
 \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
 \sin\phi & \cos\phi & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
 \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & r & 0 \\
 0 & 0 & r\sin\theta \\
\end{pmatrix} \\
\end{align}

\left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)} \right| =r^2 \sin\theta

となる。従って球面座標で表した体積素は

dV =dx\, dy\, dz =r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi

となる。また、線素の二乗は

ds^2 =dx^2 +dy^2 +dz^2 =dr^2 +r^2d\theta^2 +r^2\sin^2\theta\, d\phi^2

となる。交叉項が現れないため、球座標は各点において動径が増減する方向と二つの角度が増減する方向がそれぞれに直交している直交座標系である。

関連項目[編集]