五次方程式

五次方程式（ごじほうていしき、英語：quintic equation）とは、次数が5であるような代数方程式のこと。

概要

代数学の基本定理によれば、任意の複素数係数方程式は複素数の中に根が存在するが、しかしながら5次より高次の方程式には一般には代数的解法 は必ずしも存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して代数的な 根の公式は存在しない。 もう少し詳しく書くと、5次の一般方程式の根を、その式の各項の係数と有理数の、有限回 の四則演算及び有限回 の根号をとる操作の組み合わせで表示することはできない。

これはルフィニ、アーベル、ガロアらによって示され、またガロア理論によって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている。

なお、代数的ではないが、楕円関数などを用いた根の公式は存在する。

解の公式

5次方程式の解を超越的な手続を許して構成する方法としては、

• レベル5のモジュラー方程式の解を利用する方法
• 超幾何級数を利用する方法

の2つが知られている。 前者はエルミートによって、後者はクラインによって証明された 。

エルミートによる解法

5次方程式の解を構成するためには、まず、次の3つの事実を知っておかねばならない。

• 任意の5次方程式は代数的操作のみによってブリング-ジェラード(Bring-Jerrard)の標準形に変形できる。
• レベル5のモジュラー方程式の解が具体的に求められる。
• それらの解のある特定のコンビネーションが5次方程式を満足し、ブリング-ジェラードの標準形と関係付けることができる。

これらを結合することで5次方程式の解を構成することができる 。

ブリング-ジェラードの標準形

任意の5次方程式

$\;x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,\;$

はチルンハウゼン変換

$\;y=x^{4}+b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},\;$

において適当に係数 b_j を選ぶことによって、ブリング-ジェラードの標準形

$\;y^{5}+y+b=0,\;$

へ変換することが可能であるので、まず、この形へ帰着させる。 この手続きは代数的に実行可能であるが b_j は a_l の複雑な関数である。

レベル5のモジュラー方程式

複素トーラスの周期をそれぞれ ω₁, ω₂ として、τ を

$\;\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}},\;$

で定義する。ただし、τ は純虚数と仮定する。また、

$\;q=e^{{\rm {i}}\pi \tau }\;$

と定義する。 この時 q と qⁿ が満足する関係式、または 同値だが τ と nτ とが満たすべき関係式のことを 「レベル n のモジュラー方程式」と言う。この方程式は 次の形をとる。

$\;{\frac {L'}{L}}=n{\frac {K'}{K}}.\;$

ただし、K, L はそれぞれ母数が k, l の 第1種完全楕円積分、K´, L´ はそれぞれ母数が $\;k':={\sqrt {1-k^{2}\,}}\;$ 、 $\;l':={\sqrt {1-l^{2}\,}}\;$の第1種完全楕円積分を表す 。 この方程式によって、2つの母数 k, l が満たすべき方程式が決まる。 n = 5 のとき τ と 5 τ は次の関係式を満足することが分かっている。

$\;F\left[-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )}},{\sqrt[{4}]{\kappa (\tau )}}\right]=0,\quad F(x,y)=x^{6}-y^{6}+5x^{2}y^{2}(x^{2}-y^{2})-4xy(x^{4}y^{4}-1)=0,\;$

ただし、κ(τ) は母数を表す。 また、この式の証明の途中で次の2つの命題が証明される。

• $\;K=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{\kappa \,}}(\tau )]\;$と定義すると、$\;F[x,{\sqrt[{4}]{\kappa \,}}(\omega )]\in \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{\kappa \,}}(\omega )][x]=K[x]\;$は$\;K\;$上で既約である。
• この方程式の解が$\;\alpha _{\infty }=-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )\,}},\quad \alpha _{l}={\sqrt[{4}]{\kappa \,\left({\frac {\tau +16l}{5}}\right)}}\quad l\in \{1,2,3,4\},\;$

で与えられる。

解の構成

今、

${\begin{aligned}r_{0}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{0})(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\sqrt[{4}]{\kappa \,}}(\tau )\\r_{1}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{1})(\alpha _{2}-\alpha _{0})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\sqrt[{4}]{\kappa \,}}(\tau )\\r_{2}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{2})(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{0}-\alpha _{4}){\sqrt[{4}]{\kappa \,}}(\tau )\\r_{3}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4})(\alpha _{1}-\alpha _{0}){\sqrt[{4}]{\kappa \,}}(\tau )\\r_{4}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{4})(\alpha _{0}-\alpha _{3})(\alpha _{1}-\alpha _{2}){\sqrt[{4}]{\kappa \,}}(\tau )\end{aligned}}$

と定義すると、r_l は $\;K({\sqrt {5\,}})\;$ 上の方程式

$x^{5}-2^{4}\cdot 5^{3}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})^{2}x-2^{6}\cdot 5^{\frac {5}{2}}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})^{2}(1+\kappa ^{2})=0,\;$

の解であることが証明できる。 この式とブリング-ジェラードの標準形とを結合することで5次方程式の解が構成できる。 具体的には、

$\;b=-{\rm {i}}{\frac {2(1+\kappa ^{2})}{5^{\frac {5}{4}}{\sqrt {\kappa (1-\kappa ^{2})\,}}}}$

の変換で互いに移り変わる。 これより、複素数 κ(τ) は、4次方程式を解くことで決定できる。 $\;r_{l}\;$を決定するには、この他に τ そのものの値も必要であるので、 残されている手続はパラメータ τ の決定である。そして、この部分が超越的操作を含んでいる。 κ(τ) と τ とは、楕円曲線 C

$\;y^{2}=(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2}),\;$

上の第1種積分

$\xi ={\frac {{\rm {d}}x}{\;y\;}}={\frac {dx}{{\sqrt {(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}}\,}}\;$

の周期の比、すなわち完全楕円積分

$\;K(\kappa )=\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})\,}}},\quad K'=\int _{1}^{\frac {1}{\kappa }}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-{\kappa '}^{2}x^{2})\,}}}\quad ,\kappa '={\sqrt {1-\kappa ^{2}\,}}\;$

を用いて、

$\;\tau ={\frac {{\rm {i}}K'}{K}},\;$

の関係で結ばれている。これが κ(τ) から τ を決定する式である。 この式は代数的には解けないが、この方程式を満足する τ を r_l に代入して 5次方程式の解が得られる。

限定的な代数的解法

一般式が代数的に解けないということは、上記に示したとおりであるが、特定の5次方程式がどのような場合に解けるかは分かっている。ラグランジュが3次、4次で用いた手法をそのまま持ち込んだ場合、

$x=(\alpha _{1}+\zeta \alpha _{2}+\zeta ^{2}\alpha _{3}+\zeta ^{3}\alpha _{4}+\zeta ^{4}\alpha _{5})^{5}$ (ただし$\zeta$は1の原始5乗根)

の置換を考察することになるが、この場合5次対称群の位数は120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。つまりその為に解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する。

そこでより位数の低い置換を与えるような式を考察する必要があるが、これは1861年にアーサー・ケイリーが与えたものが最良となる。

$x=(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{3}\alpha _{4}+\alpha _{4}\alpha _{5}+\alpha _{5}\alpha _{1}-\alpha _{1}\alpha _{3}-\alpha _{2}\alpha _{4}-\alpha _{3}\alpha _{5}-\alpha _{4}\alpha _{1}-\alpha _{5}\alpha _{2})^{2}$

この場合出現する式は6通りであり、6次方程式を解くことに帰着する。もちろんこれを代数的に解くことは一般的状況では不可能であるが、根の平方が有理数になる場合に限り、実質的な次数が下がり、代数的に解ける。以下は3次、4次のラグランジュの解法同様にして元の方程式の根を得る。これが5次方程式が代数的に解ける必要十分条件である。

さらに変則的な方法として、通常のベキ根に加えて方程式 x⁵ + x - a = 0 の実零点を取る操作を超ベキ根として許容した場合、この拡張された代数的操作の範囲では5次方程式が解けることも示されている。

具体例

$x^{5}=1\qquad$

1を左辺へ移項して

$x^{5}-1=0\;$

となる。

$P(x)=x^{5}-1\;$

とおくと

$P(1)=0\;$

であるから

$(x-1)\;$

を因数にもち

$(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=0\;$

と因数分解できることが分かる。

${(x-1)=0},\quad {(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=0}\;$となるような$x\;$の値を求めればよい。

ここで

$x=1\;$

が得られる。

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0\;$…①

$x\neq 0\;$　であるから、$x^{2}\;$　で両辺を割って

$x^{2}+x+1+{1 \over x}+{1 \over x^{2}}=0\;$

ここで

$x+{1 \over x}=t\;$

とおくと、

$x^{2}+{1 \over x^{2}}=t^{2}-2\;$

となる。

①を　$t\;$　の式で置き換えると

$t+t^{2}-2+1=0\;$ すなわち $t^{2}+t-1=0\;$ という二次方程式となる。

解の公式より $t={-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)}} \over 2\cdot 1}$

ゆえに　$t={-1\pm {\sqrt {5}} \over 2}$

$x+{1 \over x}=t$

であるから

$x+{1 \over x}={-1\pm {\sqrt {5}} \over 2}$

両辺を　$2x\qquad$　倍して

$2x^{2}+2=(-1\pm {\sqrt {5}})x$

$2x^{2}+(1\pm {\sqrt {5}})x+2=0$

・$2x^{2}+(1+{\sqrt {5}})x+2=0$ の時

解の公式より、

$x={-(1+{\sqrt {5}})\pm {\sqrt {(1+{\sqrt {5}})^{2}-4\cdot 2\cdot 2}} \over 2\cdot 2}$

整理して

$x={{-1-{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}}} \over 4}$

$-10+2{\sqrt {5}}<0$ であるから

$x={{-1-{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}i} \over 4}$ (以下 $i\qquad$　は虚数単位とする。)

・$2x^{2}+(1-{\sqrt {5}})x+2=0$ の時

解の公式より、

$x={-(1-{\sqrt {5}})\pm {\sqrt {(1-{\sqrt {5}})^{2}-4\cdot 2\cdot 2}} \over 2\cdot 2}$

整理して

$x={{-1+{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}} \over 4}$

$-10-2{\sqrt {5}}<0$ であるから

$x={{-1+{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}i} \over 4}$

したがって、 $x=1,{{-1-{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}i} \over 4},{{-1+{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}i} \over 4}$

関連項目

• アーベル-ルフィニの定理
• ガロア理論
• 群論（可解群）

外部リンク

• Quintic Equation Calculator（英語、xの係数を入力すると解を算出してくれる）