代数学の基本定理

代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of algebra）は「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」 という方程式論の定理である。

概要

一般に実数係数の代数方程式が実数の範囲内に解を有するとは限らないが、x² + 1 というただ 1 つの多項式の根（虚数単位）を実数体に付け加えると、どんな代数方程式でもその体系内で解ける。

この定理の主張は、因数定理などを用いて帰納的に「複素数係数の任意のn 次多項式

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

は複素数の根を（重複度込みで考えれば）ちょうど n 個持つ」 という事実を導くので、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。とくに、どのような複素係数多項式であっても、それを複素数係数の一次式の冪積に分解できる。すなわち、体論の言葉で言えば「複素数体は代数的閉体である」 。

歴史

17世紀前半にアルベール・ジラールらによって主張され、18世紀の半ばからダランベール、オイラー、ド・フォンスネ、ラグランジュ、ラプラスらが証明を試みた。証明は洗練されていったがどれも不完全なものであった。

1799年にガウスが学位論文でそれまでの証明の不備を指摘し最初の完全な証明を与えた。後年ガウスはこの定理に3つの異なる証明を与えた。現在ではさらに多くの証明が知られている。

証明

最もよく知られている初等的な証明は、次のようにして行う。

$f(x)=|a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0|$

は、x を十分大きくすると、f(x) もいくらでも大きくできる。コンパクト集合上の連続関数が最小値を持つことから、f(x) が最小値を持つことが分かる。その最小値を c として、c ≠ 0 と仮定すると、x を少しずらすだけで、より小さな f(x) が存在することが分かり、c が最小値であることに反する。これで証明が終わる。

複素解析的な証明

複素解析的な方法を用いる証明法としては、リウヴィルの定理を用いる方法と、ルーシェの定理を用いる方法が有名である。以下にリウヴィルの定理を用いる証明の概略を示す（ルーシェの定理を用いる証明については、ルーシェの定理#代数学の基本定理の証明を参照）。

$f(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} +\cdots +a_1 z+a_0$

を最高次数の係数が 1 の任意のn次複素数係数多項式とする。

複素平面上で f(z) が零点を持たないと仮定すると、$g(z)=\frac{1}{f(z)}$ と置けば g(z) は複素平面全体で正則かつ有界であり、リウヴィルの定理から g(z) は定数となり、当然 f(z) も定数となるが、これは f(z) の形と矛盾する。従って、f(z) は複素平面上で少なくとも1つの零点を持つ。その1つを α¹ と置くと、f(z) は z − α₁ で割り切れる。$f_1 (z)=\frac{f(z)}{z-\alpha_1}$ と置けば、これは最高次数の係数が 1 の n − 1 次複素数係数多項式である。以降同様の操作を n − 1 回繰り返せば、 f(z) は n 個の z の1次式の積に還元できる。

参考文献

• 彌永昌吉 『数の体系』下、岩波書店〈岩波新書（黄版）43〉、1978年4月。ISBN 4-00-420043-1。
• 高木貞治 『解析概論』 岩波書店、1983年9月、改訂第3版 軽装版。ISBN 4-00-005171-7。
• 高木貞治 『代数学講義』 共立出版、1965年11月、改訂新版。ISBN 4-320-01000-0。
• FineBenjamin・Rosenberger, Gerhard 『代数学の基本定理』 新妻弘・木村哲三訳、共立出版、2002年2月。ISBN 4-320-01689-0。

関連項目

• 因数定理
• 体論

外部リンク

• 代数学の基本定理 (PDF)
• 代数学の基本定理 (PDF)
• Weisstein, Eric W., "Fundamental Theorem of Algebra" - MathWorld.（英語）
• ガウスの第1証明（ラテン語）