多項式の展開

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

数学において、多項式の展開 (たこうしきのてんかい、: Polynomial expansion) とは、複数の多項式の積をひとつの多項式で表すことをいう。これは、因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧が無くなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、冪級数に対するものに自然に拡張される。

概要[編集]

分配法則

a(b + c) = ab + ac

を用いることで、多項式の積をひとつの多項式で表すことができる。まず、帰納法により、第二因子が n 個の項の和である場合の分配法則を得る。

a(b1 + … + bn) = ab1 + … + abn

第一因子も複数の項の和である場合、すなわち

(a1 + … + am)(b1 + … + bn)

については、次のように計算される。

  1. 第一因子を A とおくと、A(b1 + … + bn) となる
  2. 分配法則により、これは Ab1 + … + Abn に等しい
  3. この式の第 i 項は (a1 + … + am)bi であり、再び分配法則を用いると、これは a1bi + … + ambi に等しい
  4. よって、全体は (a1b1 + … + amb1) + … + (a1bn + … + ambn) に等しい

この結果を記号 Σ を用いて書くならば

\left( \sum_{i=1}^m a_i \right) \left( \sum_{j=1}^n b_i \right) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i b_j

である。言葉で表現するならば、

第一因子の項と第二因子の項、全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である

ということである。第一因子が m 個の項の和、第二因子が n 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは mn 通りであるから、展開した結果は mn 個の項の和になる。

3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、

それぞれの因子からひとつずつ項を選ぶ、その全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である

ことがしたがう。k 個の多項式の積であって、i 番目の多項式が ni 個の項の和であれば、展開した結果は n1nk 個の項の和になる。

具体例[編集]

(a + b + c)(x + y) を展開すると、ax + ay + bx + by + cx + cy となる。展開の様子は次の表のように表せる。

\begin{matrix}
\times & a & b & c \\
x & ax & bx & cx \\
y & ay & by & cy
\end{matrix}

展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば (a + b)(a - b) を展開する場合の表は

\begin{matrix}
\times & a & b \\
a & a^2 & ab \\
-b & -ab & -b^2
\end{matrix}

であるが、ab と -ab が打ち消しあうため、a2 - b2 となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。

  • (a + b)(a - b) = a2 - b2
  • (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。

冪級数への拡張[編集]

多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である(形式的)冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数

\sum_{i=0}^\infty a_i x^i = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots

についてのみ考える。ふたつの冪級数の積は

\left( \sum_{i=0}^\infty a_i x^i \right) \left( \sum_{j=0}^\infty b_j x^j \right)=\sum_{k=0}^\infty \left( \sum_{i+j=k}a_i b_j \right) x^k

と定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。

[編集]

指数関数テイラー展開

e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots

の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、

\left( 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots \right)^2=1+2x+2x^2+\frac{4}{3}x^3+\cdots

となるが、この右辺は (ex)2 すなわち e2x のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、x にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、

(1-x)(1+x+x^2+x^3+\cdots)=1

であるが、1 + x + x2 + x3 + … は |x| < 1 の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数 1 + x + x2 + x3 + … の解析接続は 1/(1 - x) であり、これは x = 1 のみを1位のに持ち、その他の点で正則である。

関連項目[編集]